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58 2 Lineare und beschränkte Operatoren
2 Lineare und beschränkte Operatoren
2.1 Operatoren im Banachraum
2.1.1 Grundbegriffe
Definition 2.1 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Ein linearer Operator A : X→ Y heißt beschränkt, falls ein c > 0 existiert, so dass für alle x ∈ X
‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X
gilt.
(ii) L(X,Y) = {A : X→ Y linearer und beschränkter Operator}
(iii) Für A ∈ L(X,Y) nennt man‖A‖ = sup
‖x‖X≤1‖Ax‖Y
die Operatornorm von A.
Bemerkung : • A : X→ Y linear ⇐⇒ ∀ x, y ∈ X ∀ λ, µ ∈ K : A (λx+ µy) = λAx + µAy
• falls X = Y: L(X) := L(X,X)
• weitere Schreibweisen in (iii): ‖A‖ = ‖A‖L(X,Y) = ‖A‖X→Y für A ∈ L(X,Y)
Satz 2.2 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume, A : X → Y linear. Dann sind folgendeAussagen äquivalent:
(i) A ist beschränkt
(ii) A ist Lipschitz-stetig
(iii) A ist gleichmäßig stetig
(iv) A ist stetig
(v) Es existiert ein x0 ∈ X, so dass A in x0 stetig ist
(vi) ‖A‖ = sup‖x‖X≤1
‖Ax‖Y 0 ∀ x ∈ X, ‖x− x0‖X < δ : ‖Ax−Ax0‖Y < 1sei x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 y
∥∥x0 +
δ2x− x0
∥∥X≤ δ2 < δ ==⇒s.o.
δ2 ‖Ax‖Y =
∥∥A
(x0 +
δ2x
)−Ax0
∥∥Y
< 1
y ∀ x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 : ‖Ax‖Y < 2δ
2.1 Operatoren im Banachraum 59
Satz 2.3 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Für A ∈ L(X,Y) gilt
‖A‖ = sup‖x‖X≤1
‖Ax‖Y = supx 6=0
‖Ax‖Y‖x‖X
= sup‖x‖X=1
‖Ax‖Y
= inf{c > 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X}
(ii) Falls Y ein Banachraum ist, so auch L(X,Y).
(iii) Sind [W, ‖ · ‖W] ein normierter Raum, A ∈ L(X,Y), B ∈ L(Y,W), so gilt B ◦A ∈ L(X,W) mit
‖B ◦A‖L(X,W) ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)
Be w e i s : zu (i):
supx 6=0
‖Ax‖Y‖x‖X
≤ supx 6=0
∥∥∥∥A
(x
‖x‖X
)∥∥∥∥Y
= sup‖z‖X=1
‖Az‖Y ≤ sup‖z‖X≤1
‖Az‖Y = ‖A‖ ≤ sup0 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X} ≤ ‖A‖
g.z.z.: ∀ c ∈ (0, ‖A‖) ∃ x0 ∈ X : ‖Ax0‖Y > c ‖x0‖X
c < ‖A‖ = supx 6=0
‖Ax‖Y‖x‖X
==⇒sup∃ x0 ∈ X, x0 6= 0 : c <
‖Ax0‖Y‖x0‖X
≤ ‖A‖ y ∃ x0 ∈ X\{0} : ‖Ax0‖Y > c‖x0‖X
zu (ii): ‖ · ‖L(X,Y) Norm auf L(X,Y) X; n.z.z.: Vollständigkeit von L(X,Y)
sei (Ak)k ⊂ L(X,Y) mit ‖Ak −Am‖ −−−−−→k,m→∞
0 y ‖Akx−Amx‖Y ≤ ‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−−→k,m→∞
0, x ∈ Xy (Akx)k ⊂ Y Cauchy-Folge für alle x ∈ X =======⇒
Y vollständig∃ y = yx ∈ Y : lim
k→∞Akx = yx =: Ax, x ∈ X
y A : X→ Y, A linear,‖(A−Am)x‖Y = lim
k→∞‖Akx−Amx‖Y ≤ lim inf
k→∞‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−→
m→∞0
y A−Am ∈ L(X,Y) y A ∈ L(X,Y), limm→∞
‖A−Am‖ = 0
zu (iii): x ∈ X y Ax ∈ Y y (B ◦A)x = B(Ax) ∈W,‖(B ◦A)x‖W ≤ ‖B‖L(Y,W)‖Ax‖Y ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)‖x‖X
Bemerkung : X Banachraum y L(X) Banachraum mit Einselement idX→X ∈ L(X)
Beispiele : (a) dimX 0 ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c maxj=1,...,m
‖Aξj‖Y ‖x‖X = C‖x‖X y A ∈ L(X,Y)
60 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiele : (b) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)
x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑
k=1
ajkxk, j ∈ N
y |(Ax)j | ≤Hölder
( ∞∑
k=1
|ajk|2) 1
2 ‖x‖2, j ∈ N
y ‖Ax‖2 =( ∞∑
j=1
|(Ax)j |2) 1
2 ≤ ‖x‖2( ∞∑
j=1
∞∑
k=1
|ajk|2) 1
2
︸ ︷︷ ︸
‖a|ℓ2(N×N)‖
= ‖x‖2 ‖a|ℓ2(N× N)‖
y A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖
(c) X = Y = C[0, 1], sei ϕ ∈ C[0, 1]; Multiplikationsoperator Mϕ : f 7→ ϕfy Mϕ linear, ‖Mϕf‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞‖f‖∞ y ‖Mϕ‖ ≤ ‖ϕ‖∞ y Mϕ ∈ L(C[0, 1])f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] y ‖Mϕf0‖∞ = ‖ϕ‖∞ =⇒
inf‖Mϕ‖ ≥ ‖ϕ‖∞ y ‖Mϕ‖ = ‖ϕ‖∞
analog: Mϕ : Lp(Ω)→ Lp(Ω) mit ϕ ∈ L∞(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞
(d) X = Y = Lp(Rn), 1 ≤ p 0 ======⇒ϕ ∈ C[0, 1]
ϕε(x) =ϕ(x)
|ϕ(x)| + ε ∈ C[0, 1],‖ϕε‖∞ < 1
Bϕϕε =
1∫
0
|ϕ(x)|2|ϕ(x)| + ε dx
︸ ︷︷ ︸
=|Bϕϕε|, da ≥0
>
1∫
0
|ϕ(x)|2 − ε2|ϕ(x)|+ ε dx =
1∫
0
(|ϕ(x)| − ε) dx = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − ε
y ‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1
|Bϕf | ≥ supε>0|Bϕϕε| = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − inf
ε>0ε = ‖ϕ|L1(0, 1)‖
(f) X = C1[0, 1], Y = C[0, 1], Differentialoperator D =d
dx: f 7→ f ′ y D linear,
‖Df |C[0, 1]‖ = supx∈[0,1]
|f ′(x)| ≤ supx∈[0,1]
|f(x)|+ supx∈[0,1]
|f ′(x)| = ‖f |C1[0, 1]‖
y D ∈ L(C1[0, 1],C[0, 1]), ‖D‖ ≤ 1
analog: Dm =∑
|α|≤maαD
α : Cm(Ω)→ C(Ω), aα ∈ K, m ∈ N, ‖Dm‖ ≤ sup
|α|≤m|aα|
2.1 Operatoren im Banachraum 61
Bemerkung : betrachten X = C1[0, 1] ⊂ C[0, 1] Teilraum mit ‖f‖∞ = supx∈[0,1]
|f(x)| y D 6∈ L(X,C[0, 1]):
fn(x) = xn ∈ X, n ∈ N, ‖fn‖X = ‖fn‖∞ = 1, ‖Dfn‖∞ = sup
x∈[0,1]nxn−1 = n = n‖fn‖∞
y ‖D‖ ≥ n −−−−→n→∞
∞
Beispiel : (g) Verallgemeinerung von (d): X = Y = C[0, 1], sei k : [0, 1]× [0, 1] → K mit k ∈ C([0, 1]2);Fredholmscher Integraloperator
(Kf)(x) =
∫ 1
0
k(x, y)f(y) dy, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]
Kf ∈ C[0, 1]: k(·, y) ∈ C[0, 1] y k(·, y) gleichmäßig stetig für alle y ∈ [0, 1]
y |Kf(x)−Kf(x′)| ≤∫ 1
0
|k(x, y)− k(x′, y)|︸ ︷︷ ︸
62 2 Lineare und beschränkte Operatoren
∥∥A
∥∥L(D,Y) =
∥∥Ã
∥∥L(X,Y):
∥∥Ã
∥∥L(X,Y) = sup
x∈X,‖x‖X≤1
∥∥Ãx
∥∥Y= sup
x∈X,‖x‖X≤1limk→∞
∥∥Axk
∥∥Y≤ sup
x∈X,‖x‖X≤1
∥∥A
∥∥L(D,Y) limk→∞
‖xk‖X︸ ︷︷ ︸
‖x‖X=
∥∥A
∥∥L(D,Y)
= supx∈D,‖x‖X≤1
∥∥Ax
∥∥Y
︸ ︷︷ ︸
=‖Ãx‖Y, x∈D
≤D ⊂ X
supx∈X,‖x‖X≤1
∥∥Ãx
∥∥Y=
∥∥Ã
∥∥L(X,Y)
2.1.2 Lineare Funktionale und Dualraum
Definition 2.5 Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum. Dann nennt man A ∈ L(X,K) ein lineares Funk-tional auf X und X′ = L(X,K) Dualraum zu X.
Bemerkung : Satz 2.3(ii) ===⇒Y = K
X′ Banachraum mit ‖A‖ = sup‖x‖X≤1
|Ax|, A ∈ X′ = L(X,K)
Schreibweise: X →֒ Y (stetige Einbettung) ⇐⇒ idX→Y ∈ L(X,Y) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖x‖Y ≤ c‖x‖X
Lemma 2.6 Falls X →֒ Y dicht ist, so folgt Y′ →֒ X′ in dem Sinn, dass für alle ϕ ∈ Y′ gilt ϕ|X ∈ X′.
Be w e i s : ϕ ∈ Y′ = L(Y,K) ====⇒X →֒ Y
ϕ|X = ϕ ◦ idX→Y ∈ L(X,K) = X′ linear und beschränkt; Eindeutig-keit von ϕ|X folgt aus Satz 2.4;sei ϕ ∈ Y′, x ∈ X →֒ Y y
∣∣ϕ|X(x)
∣∣ = |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖Y′‖x‖Y ≤ c‖ϕ‖Y′‖x‖X y ϕ|X ∈ X′, ‖ϕ|X‖X′ ≤ c ‖ϕ‖Y′
Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] isometrisch-isomorph ⇐⇒ ∃ L : X→ Y linear, isometrisch, surjektiv⇐⇒ ∃ L : X→ Y ∀ x ∈ X : ‖Lx‖Y = ‖x‖X ∧ L(X) = Y (Def. 1.9)
Schreibweise: X ∼= Y
Satz 2.7 Seien 1 < p
2.1 Operatoren im Banachraum 63
sei ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , ), k ∈ N, kanonische Basis in ℓp(N), d.h. ekj = δj,k ={
1, k = j
0, k 6= j
x ∈ ℓp(N) y x =∞∑
k=1
xkek,
∥∥∥x−
m∑
k=1
xkek∥∥∥p=
( ∞∑
k=m+1
|xk|p) 1
p −−−−→m→∞
0
=========⇒ϕ linear & stetig
ϕ(x) =
∞∑
k=1
xk ϕ(ek)
︸ ︷︷ ︸=:ηk
=
∞∑
k=1
xkηk (16)
n.z.z.: η ∈ ℓp′(N), ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′
betrachten (ξm)m∈N mit ξmk =
|ηk|p′
ηk, ηk 6= 0 ∧ k ≤ m,
0, sonst
y ξm ∈ ℓp(N), m ∈ N ==⇒(16)
ϕ(ξm) =m∑
k=1
|ηk|p′
ηk︸ ︷︷ ︸
ξk
ηk =
m∑
k=1
|ηk|p′
︸ ︷︷ ︸
≥0
= |ϕ(ξm)|
ym∑
k=1
|ηk|p′
= |ϕ(ξm)| ≤ϕ ∈ (ℓp(N))′
‖ϕ‖(ℓp(N))′‖ξm‖p
= ‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑
k=1
|ηk|(p′−1)p
) 1p
=p(p′ − 1) = p′
‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑
k=1
|ηk|p′) 1
p
≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1
p′
====⇒m → ∞
∞∑
k=1
|ηk|p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p
′−1p′ ⇐⇒ ‖η‖p
′
p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1
p′
y ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′
y η ∈ ℓp′(N), η = L−1ϕ ⇐⇒ ϕ = Lη = ϕη mit ηk = ϕ(ek), k ∈ N, ‖η‖p′ ≤ ‖ϕη‖(ℓp(N))′ ≤1. Schritt
‖η‖p′
y L Isometrie
Übung II-4 : In welchem Sinn gelten folgende Aussagen?(a)
(ℓ1(N)
)′= ℓ∞(N) (b)
(c0(N)
)′= ℓ1(N) (c)
(c(N)
)′= ℓ1(N)
Bemerkung : • Es ist ℓ1(N) ( (ℓ∞(N))′.
• p = 2 = p′ ====⇒Satz 2.7
(ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N)
Satz 2.8 Seien [Ω,A, µ] ein σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, 1 ≤ p
64 2 Lineare und beschränkte Operatoren
sei g ∈ Lp(A, µ) ===⇒Hölder
|Lf(g)| ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖‖g|Lp(A, µ)‖ ==⇒sup
‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖y Lf injektiv
z.z.: ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖=1
|Lf(g)|
y g.z.z.: ∃ g ∈ Lp(A, µ), ‖g|Lp(A, µ)‖ = 1 : |Lf (g)| = ‖f |Lp′(A, µ)‖
sei f ∈ Lp′(A, µ), o.B.d.A. f 6= 0, setzen g(x) =f(x)
|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖
) p′p
y ‖g|Lp(A, µ)‖ =( ∫
A
|f(x)|p′
‖f |Lp′(A, µ)‖p′dµ(x)
) 1p
= 1
sowie
|Lf(g)| =∣∣∣∣
∫
A
f(x)f(x)
|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖
) p′p
︸ ︷︷ ︸
g(x)
dµ(x)
∣∣∣∣
=
∫
A
|f(x)| p′
p +1
‖f |Lp′(A, µ)‖p′
p
dµ(x) =p′
p + 1 = p′
1
‖f |Lp′(A, µ)‖p′
p
∫
A
|f(x)|p′ dµ(x)︸ ︷︷ ︸
‖f |Lp′(A,µ)‖p′
= ‖f |Lp′(A, µ)‖
==⇒sup
‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≥ ‖f |Lp′(A, µ)‖
==⇒s.o.‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = ‖f |Lp′(A, µ)‖
Bemerkung : • Lp′(A, µ) →֒(Lp(A, µ)
)′, 1 ≤ p ≤ ∞, Interpretation:
f ∈ Lp′(A, µ) 7→ Lf ∈(Lp(A, µ)
)′mit Lf (g) =
∫
A
f(x)g(x) dµ(x), g ∈ Lp(A, µ)
und ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ)
)′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖≤1
∣∣∣
∫
A
f(x)g(x) dµ(x)∣∣∣
• L1(A, µ) →֒(L∞(A, µ)
)′echter Teilraum, d.h.
Lp′(A, µ) =(Lp(A, µ)
)′(Interpretation) ⇐⇒ 1 ≤ p
2.1 Operatoren im Banachraum 65
Satz 2.9 (Rieszscher Darstellungssatz)Seien Ω ein kompakter metrischer Raum, M(Ω) der Raum der regulären Borelmaße auf Ω. Dann sind
(C(Ω))′ ∼= M(Ω) isometrisch-isomorph,
wobei
L : M(Ω) → (C(Ω))′ , µ 7→ Lµ, Lµ(g) =∫
Ω
g dµ, g ∈ C(Ω),
der isometrische Isomorphismus ist.
Be w e i s : siehe [Wer00, Satz II.2.5]
2.1.3 Kompakte Operatoren und inverse Abbildungen
Definition 2.10 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Ein linearer Operator A : X → Y heißt kompakt, falls das Bild jeder in X beschränkten Menge in Y
präkompakt ist.
(ii) K(X,Y) = {A : X→ Y linearer und kompakter Operator}
Bemerkung : UX = {x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1} y A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ A(UX) präkompakt in Y ⇐⇒ A(UX)kompakt in Y
Beispiele : (i) X = Lipb(I), Y = Lipa(I), I ⊂ R kompakt, 0 < a < b < 1====⇒ÜA I-13
idX→Y ∈ K(Lipb(I),Lipa(I))
(ii) X = C1[0, 1] mit ‖f |C1[0, 1]‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞, Y = C[0, 1] mit ‖ · ‖∞====⇒ÜA I-15
idX→Y ∈ K(C1[0, 1],C[0, 1])
Satz 2.11 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Es gilt K(X,Y) ⊂ L(X,Y), d.h. jeder kompakte Operator ist beschränkt.
(ii) A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ ∀ (xn)n ⊂ X, ‖xn‖X ≤ c ∃ (xnk )k ⊂ (xn)n : (Axnk)k konvergent in Y
(iii) Für dimX
66 2 Lineare und beschränkte Operatoren
zu (iii): sei dimX < ∞, Ω ⊂ X beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)
Ω präkompakt =======⇒A ∈ L(X,Y)
A(Ω) präkompakt
(analog zu Argument für (ii))
sei dimY 0 ============⇒‖An − A‖ −−−−→
n→∞0∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : ‖An −A‖ < ε
y ‖Axkk −Axmm‖Y ≤ ‖Axkk −An0xkk‖Y︸ ︷︷ ︸
≤‖A−An0‖2C
2.1 Operatoren im Banachraum 67
B e w e i s : Ak ∈ L(X,R(Ak)), rank(Ak)
68 2 Lineare und beschränkte Operatoren
1. Schritt: sei f ∈ C(Ω), ‖f‖∞ ≤ 1
y ‖Kf‖∞ = supx∈Ω
∣∣∣
∫
Ω
k(x, y)f(y) dy∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
|(Kf)(x)|
≤ supx∈Ω
‖k(x, ·)‖∞ ‖f‖∞︸ ︷︷ ︸
≤1
|Ω| ≤ |Ω|‖k|C(Ω× Ω)‖ ≤ ck,Ω
y K(UC(Ω)) = {Kf : ‖f‖∞ ≤ 1} beschränkt,
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| ≤∫
Ω
|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸
2.1 Operatoren im Banachraum 69
Bemerkung : • ∃ A−1 ∈ L(X) ⇐⇒ R(A− λ idX) = X, A injektiv, A−1 beschränktspäter: Satz vom inversen Operator, d.h.
R(A− λ idX) = X, A injektiv =⇒ A−1 beschränkt
• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x ∈ X, x 6= 0 : Ax = λxy dimN(A− λ idX) > 0 y ∄ (A− λ idX)−1 y λ ∈ σσσ(A)
• A ∈ K(X) y 0 ∈ σσσ(A) für dimX =∞
nächstes Ziel: Darstellung von (A− λ idX)−1, A ∈ L(X)
formal: ( idX −A)−1 =1
idX −A=
∞∑
k=0
Ak, falls konvergent, wobei Ak+1 = A ◦Ak, k ∈ N0
Vereinbarung: A ∈ L(X) y A0 := idX
y Konvergenz von∞∑
k=0
Ak in L(X):
∥∥∥
∞∑
k=0
Ak∥∥∥ ≤
∞∑
k=0
∥∥Ak
∥∥ ≤
Satz 2.3(iii)
∞∑
k=0
‖A‖k konvergent für ‖A‖ < 1
früher: Konvergenzradius 99K betrachten ‘Spektralradius von A’: limk→∞
k√
‖Ak‖ (falls er existiert)
===⇒früher
limk→∞
k√
‖Ak‖
< 1 99K Konvergenz von∞∑
k=0
∥∥Ak
∥∥
> 1 99K Divergenz von∞∑
k=0
∥∥Ak
∥∥
y ∃ limk→∞
k√
‖Ak‖ ? 99K verwenden spezielle Struktur der Folge:∥∥Aj+k
∥∥ =
∥∥Aj ◦Ak
∥∥ ≤
Satz 2.3(iii)
∥∥Aj
∥∥∥∥Ak
∥∥
Lemma 2.15 Seien aj ≥ 0 sowie aj+k ≤ ajak, j, k ∈ N. Dann existiert limk→∞
k√ak, es gilt
limk→∞
k√ak = inf
k∈Nk√ak.
Be w e i s : ak ≥ 0 y ∃ a := infk∈N
k√ak, sei ε > 0 =⇒
inf∃ k0 ∈ N : a ≤ k0
√ak0 < a+ ε y ak0 < (a+ ε)
k0
sei m ∈ N beliebig y ∃ ! r0 =⌊mk0
⌋
∈ N0 : r0k0 ≤ m < (r0 + 1)k0y ∃ ! r0 ∈ N0 ∃ ! p0 ∈ {0, . . . , k0 − 1} : m = r0k0 + p0, setzen a0 := 1
y ∀ m ∈ N : am = ar0k0+p0 ≤Vor.
ar0k0ap0 ≤Iteration
ar0k0 maxj=0,...,k0−1aj
︸ ︷︷ ︸
=:M0
= M0 ar0k0
y am ≤M0ar0k0 0 ∃ m0 ∈ N ∀ m ≥ m0 : a ≤ m√am < a+ 2ε ⇐⇒ lim
m→∞m√am = a
Folgerung 2.16 Sei A ∈ L(X). Dann existiert limk→∞
k
√
‖Ak‖ = infk∈N
k
√
‖Ak‖ ≤ ‖A‖.
70 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Definition 2.17 Für A ∈ L(X) nennt man
r(A) = limk→∞
k
√
‖Ak‖
Spektralradius von A.
Bemerkung : A ∈ L(X) =====⇒Folg. 2.16
r(A) ≤ ‖A‖
Satz 2.18 Seien X ein Banachraum, A ∈ L(X).(i) Für |λ| > r(A) existiert (A− λ idX)−1 ∈ L(X), und es gilt
(A− λ idX)−1 = −∞∑
k=0
Ak
λk+1,
in L(X), sowie für |λ| > ‖A‖,
∥∥(A− λ idX)−1
∥∥ ≤ 1|λ| − ‖A‖ .
(ii) Die Reihe∞∑
k=0
Ak
λk+1konvergiert in L(X) genau dann, wenn |λ| > r(A) ist.
Bemerkung : • Konvergenz bezüglich der Operatornorm ‖ · ‖ in L(X)
•∞∑
k=0
Ak
λk+1heißt Neumann41sche Reihe
Be w e i s : 1. Schritt: betrachten Spezialfall λ = 1 > r(A) 99K z.z.: ( idX −A)−1 =∞∑
k=0
Ak in L(X)
sei B :=∞∑
k=0
Ak, Bn =n∑
k=0
Ak y ‖B −Bn‖ ≤∞∑
k=n+1
‖Ak‖ −−−−→n→∞
0, da r(A) < 1 y B ∈ L(X)
andererseits: BnA =( n∑
k=0
Ak)
A =n∑
k=0
Ak+1 = A( n∑
k=0
Ak)
= ABn
y BnA = ABn =n+1∑
l=1
Al =
n+1∑
l=0
Al − idX, ‖BnA−BA‖ ≤ ‖Bn −B‖︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞
0
‖A‖ −−−−→n→∞
0,
‖ABn −AB‖ ≤ ‖A‖ ‖Bn −B‖︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞
0
−−−−→n→∞
0
y BA = limn→∞
BnA = B − idX = limn→∞
ABn = AB
in L(X) y idX = B −BA = B( idX −A) = ( idX −A)B (18)
y idX −A injektiv: ( idX −A)x = 0 ==⇒(18)
x = idXx = B ( idX −A)(x)︸ ︷︷ ︸
0
= 0 y N( idX −A) = {0}
41Carl Gottfried Neumann (∗ 7.5.1832 Königsberg † 27.3.1925 Leipzig)
2.1 Operatoren im Banachraum 71
idX −A surjektiv: sei y ∈ X ==⇒(18)
y = idXy = ( idX −A) By︸︷︷︸
z∈X
y ∃ z ∈ X : y = ( idX −A)z
y ∃ ( idX −A)−1 =(18)
B
2. Schritt: sei jetzt λ ∈ C, |λ| > r(A) beliebig y λ 6= 0,
A− λ idX = λ( 1
λA− idX
)
y (A− λ idX)−1 =1
λ
( 1
λA− idX
)−1
r
( 1
λA)
= limk→∞
k
√∥∥∥∥
Ak
λk
∥∥∥∥=
1
|λ|r(A) ‖A‖ y∥∥∥∥
A
λ
∥∥∥∥< 1 y ‖(A− λ idX)−1‖ ≤
1
|λ|
∞∑
k=0
∥∥∥∥
A
λ
∥∥∥∥
k
︸ ︷︷ ︸1
1−‖A‖|λ|
=1
|λ| − ‖A‖
n.z.z.: ∃∞∑
k=0
Ak
λk+1∈ L(X) =⇒ r(A) < |λ|
∃∞∑
k=0
Ak
λk+1y
∥∥∥∥
Ak
λk
∥∥∥∥−−−−→k→∞
0 ===⇒ε = 1
∃ k0 ∀ k ≥ k0 : ‖Ak‖ < |λ|k y infk∈N
k
√
‖Ak‖ < |λ|
============⇒Folg. 2.16, Def. 2.17
r(A) = limk→∞
k√
‖Ak‖ = infk∈N
k√
‖Ak‖ < |λ|
Bemerkung : • möglich: ∃ (A− λ idX)−1 ∈ L(X), aber∞∑
k=0
Ak
λk+1divergent
• Man kann zeigen:
∃ λ0 ∈ σσσ(A) : |λ0| = r(A),
siehe z.B. [Wer00, Satz VI.1.6]
λ0
σσσ(A)
‖A‖
r(A)
Anwendung: Volterra42sche Integraloperatoren
a x
k ≡ 0
D
b
x = y
Ω
y
b
a
Ω = (a, b) ⊂ R beschränkt, k(·, ·) : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar
speziell: k ∈ L∞([a, b]× [a, b]), k(x, y) = 0 für x < y
[a, b] ⊂ R beschränkt y L∞([a, b]× [a, b]) →֒ L2([a, b]× [a, b])
y (Kf)(x) =∫ b
a
k(x, y)︸ ︷︷ ︸
=0, x
72 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Satz 2.19 Seien [a, b] ⊂ R, k : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar mit k(x, y) = 0 für x < y, und
(Kf)(x) =
∫ x
a
k(x, y)f(y) dy, x ∈ [a, b].
(i) Für k ∈ L∞([a, b] × [a, b]) gelten K ∈ K(L2[a, b]), σσσ(K) = {0} und r(K) = 0. Die VolterrascheIntegralgleichung
Kf − λf = gbesitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ L2[a, b] genau eine Lösung f ∈ L2[a, b], die sich mittels der in L2[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.
(ii) Falls k auf D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ x} ⊂ [a, b]× [a, b] stetig ist, so gelten K ∈ K(C[a, b]),σσσ(K) = {0} und r(K) = 0. Die Volterrasche Integralgleichung
Kf − λf = g
besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ C[a, b] genau eine Lösung f ∈ C[a, b], die sich mittels der in C[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.
Be w e i s : 1. Schritt: K ∈ K(L2[a, b]) nach Vorbemerkung klar; zu K ∈ K(C[a, b]):sei f ∈ C[a, b], ‖f‖∞ ≤ 1 y ‖Kf‖∞ ≤ (b − a) max
(x,y)∈D|k(x, y)| =: (b − a)‖k‖∞,D y K(UC[a,b])
beschränkt; seien x ∈ [a, b] und h so, dass x+ h ∈ [a, b] , o.B.d.A. h ≥ 0
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| =∣∣∣
∫ x+h
a
k(x+ h, y)f(y) dy −∫ x
a
k(x, y)f(y) dy∣∣∣
≤∫ x
a
|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸
2.1 Operatoren im Banachraum 73
Induktion, o.B.d.A. x > z:
|km(x, z)| ≤x∫
z
|km−1(x, y)|︸ ︷︷ ︸
≤|x−y|m−2‖k‖
m−1∞,D
(m−2)!
|k(y, z)|︸ ︷︷ ︸
≤‖k‖∞,D
dy
≤‖k‖m∞,D(m− 2)!
x∫
z
(x− y)m−2︸ ︷︷ ︸
=|x−y|m−2, y
74 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiel : Spezialfall: [a, b] = [0, 1], k ≡ 1 auf D y (Kf)(x) =∫ x
0
f(y) dy, f ∈ C[0, 1]y K ∈ K(C[0, 1]) injektiv, R(K) ⊂ {g ∈ C[0, 1] : g(0) = 0} ( C[0, 1], d.h.R(K) ( C[0, 1] y K nicht surjektiv
suchen Lösung von Kf − λf = g, λ 6= 0
y f(x) = (K − λ id)−1g(x) =∞∑
m=0
1
λm+1(Kmg)(x)
=
∞∑
m=0
1
λm+1
x∫
0
km(x, y)g(y) dy
︸ ︷︷ ︸
(Kmg)(x)
=K0 = id
g(x)
λ+
∞∑
m=1
1
λm+1
x∫
0
(x− y)m−1(m− 1)!
︸ ︷︷ ︸
km(x,y)
g(y) dy
sowie, fallsx∫
0
· · · gleichmäßig konvergent,
=g(x)
λ+
x∫
0
∞∑
m=1
(x− y)m−1λm+1(m− 1)! g(y) dy
2.2 Operatoren im Hilbertraum
2.2.1 Hilberträume
Definition 2.20 Seien H ein Vektorraum über K.
(i) Eine Abbildung 〈·, ·〉 : H×H→ K heißt Skalarprodukt, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:(1) Für alle x ∈ H gilt: 〈x, x〉 ≥ 0, sowie 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0.(2) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 = 〈y, x〉.(3) Für alle x, y, z ∈ H und λ ∈ K gelten:
〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x+ z, y〉 = 〈x, y〉+ 〈z, y〉.
(ii) Ein normierter Raum H heißt Prä-Hilbert43raum, wenn es ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf H gibt, so dass‖x‖H =
√
〈x, x〉 auf H eine Norm definiert.
(iii) Ein Prä-Hilbertraum H heißt Hilbertraum, falls H bezüglich ‖ · ‖H vollständig ist.
Bemerkung : • aus (2) & (3) folgt:
〈x, λy〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉
• in H immer: ‖ · ‖H =√
〈·, ·〉, gelegentlich 〈·, ·〉H für 〈·, ·〉
43David Hilbert (∗ 23.1.1862 Königsberg † 14.2.1943 Göttingen)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 75
Satz 2.21 (i) Sei H ein Prä-Hilbertraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dann gilt die Cauchy-Schwarz44-Ungleichung,
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖H‖y‖H für alle x, y ∈ H,wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x und y linear abhängig sind.
(ii) Seien H ein normierter Raum mit der Norm ‖ · ‖. Dann ist H ein Prä-Hilbertraum genau dann, wenndie Parallelogramm-Gleichung gilt,
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2
)für alle x, y ∈ H.
Das zugehörige Skalarprodukt ist dann definiert als
〈x, y〉 ={
14
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2
), K = R,
14
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2
)+ i4
(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2
), K = C.
Be w e i s : bekannt aus früheren Vorlesungen bzw. Übung
Bemerkung : aus (i) folgt ‖ · ‖H Norm (Dreiecksungleichung)
Beispiele : (a) Rn, Cn mit 〈x, y〉 =n∑
j=1
xjyj
(b) ℓ2(N) mit 〈x, y〉2 =∞∑
j=1
xjyj , x = (xj)j , y = (yj)j
(c) [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A µ-messbar, L2(A, µ) wie in Abschnitt 1.3.3L2(A, µ) Hilbertraum mit
〈f, g〉2 =∫
A
fg dµ,
insbesondere gilt für [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln: L2(G) Hilbertraumetwas allgemeiner: gewichtete L2-Räume: dµ = w(x) dx, w ≥ 0 λn-messbar:
〈f, g〉w =∫
G
f(x)g(x)w(x) dx
(d) C[a, b] Prä-Hilbertraum mit ‖ · ‖2, aber nicht vollständig:
[a, b] = [0, 1], fn(x) =1
3
√
max(x, 1n
)
y fn ∈ C[0, 1], n ∈ N
fn(x) −−−−→n→∞
13√x=: f(x), x ∈ (0, 1]
y f 6∈ C[0, 1], aber
f20(x)
f10(x)
f2(x)
f5(x)
1
0.4 0.6 0.8 1
3
2
0 0.2‖fn − f‖22 =∫ 1
0
|fn(x)− f(x)|2 dx
=
∫ 1/n
0
∣∣∣∣
3√n− 1
3√x
∣∣∣∣
2
dx+
∫ 1
1/n
0 dx
=
∫ 1/n
0
n23 dx
︸ ︷︷ ︸
n−1/3
−2n 13∫ 1/n
0
x−13 dx
︸ ︷︷ ︸32n
−2/3
+
∫ 1/n
0
x−23 dx
︸ ︷︷ ︸
3n−1/3
= n−13 −−−−→
n→∞0
44Hermann Amandus Schwarz (∗ 25.1.1843 Hermsdorf (Schlesien) † 30.11.1921 Berlin)
76 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Folgerung 2.22 Sei H ein Prä-Hilbertraum.
(i) Für (xj)j , (yj)j ⊂ H mit xj −−−→j→∞
x, yj −−−→j→∞
y gilt
〈xj , yj〉 −−−→j→∞
〈x, y〉.
(ii) Aus∑
n∈Nxn = x ∈ H folgt für alle y ∈ H: 〈x, y〉 =
〈∑
n∈Nxn, y
〉
=∑
n∈N〈xn, y〉.
(iii) Ist U ⊂ H ein dichter Teilraum und gilt 〈x, u〉 = 0 für alle u ∈ U , so ist x = 0.
Be w e i s : (i) und (ii) Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Satz 2.21(i):
|〈x, y〉 − 〈xj , yj〉| ≤ |〈x− xj , yj〉|+ |〈x, y − yj〉| ≤Satz 2.21(i)
‖x− xj‖H︸ ︷︷ ︸
−−−→j→∞
0
‖yj‖H︸ ︷︷ ︸
≤c
+‖x‖H ‖y − yj‖H︸ ︷︷ ︸
−−−→j→∞
0
−−−→j→∞
0
zu (iii): sei x ∈ H ====⇒U dicht
∃ {uj}j ⊂ U : uj −−−→j→∞
x =⇒(i)〈uj, x〉︸ ︷︷ ︸
0
−−−→j→∞
〈x, x〉 = ‖x‖2H y x = 0
Definition 2.23 Sei H ein Prä-Hilbertraum.
(i) x, y ∈ H heißen orthogonal, d.h. x⊥y, falls 〈x, y〉 = 0 gilt.
(ii) Zwei Teilräume U, V ⊂ H heißen orthogonal, falls für alle u ∈ U und v ∈ V gilt 〈u, v〉 = 0.
(iii) Sei U ⊂ H ein Teilraum. Dann nennt man
U⊥ = {v ∈ H : v⊥u für alle u ∈ U}
heißt orthogonales Komplement von U .
Bemerkung : U ∩ U⊥ = {0}: x ∈ U ∩ U⊥ y 〈x, x〉 = 0 = ‖x‖2H ⇐⇒ x = 0
Satz 2.24 Sei H ein Prä-Hilbertraum.
(i) Für x, y ∈ H mit x⊥y gilt ‖x+ y‖2H = ‖x‖2H + ‖y‖2H.
(ii) Für U ⊂ H ist U⊥ ein abgeschlossener Teilraum von H, es gilt(U)⊥
= U⊥.
(iii) Es gilt: U ⊂(U⊥
)⊥.
Bemerkung : (i) . . . Satz des Pythagoras
B e w e i s : zu (i): ‖x+ y‖2H = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2H + ‖y‖2H + 〈x, y〉︸ ︷︷ ︸
0, x⊥y
+ 〈y, x〉︸ ︷︷ ︸
0, x⊥y
= ‖x‖2H + ‖y‖2H
zu (ii): U⊥ linearer Teilraum: y1, y2 ∈ U⊥, λ, µ ∈ K
x ∈ U y 〈λy1 + µy2, x〉 = λ 〈y1, x〉︸ ︷︷ ︸
0
+µ 〈y2, x〉︸ ︷︷ ︸
0
= 0 y λy1 + µy2 ∈ U⊥
U⊥ abgeschlossen: sei (yj)j ⊂ U⊥ mit yj −−−→j→∞
y, z.z.: y ∈ U⊥
x ∈ U y 〈x, y〉 =Folg. 2.22(i)
limj→∞
〈x, yj〉︸ ︷︷ ︸
0, yj∈U⊥
= 0
2.2 Operatoren im Hilbertraum 77
(U)⊥ ⊆ U⊥: v ∈
(U)⊥
y 〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U ====⇒U ⊂ U
〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U y v ∈ U⊥
U⊥ ⊆(U)⊥
: v ∈ U⊥, u ∈ U y ∃ (uj)j ⊂ U : uj −−−→j→∞
u y 〈v, u〉 =Folg. 2.22(i)
limj→∞
〈v, uj〉︸ ︷︷ ︸
0, v∈U⊥
= 0 y v ∈(U)⊥
zu (iii): u ∈ U , v ∈ U⊥ y 〈u, v〉 = 0 y u ∈(U⊥
)⊥
Approximationsproblem in Hilberträumen
allgemeines Problem: f ∈ H, U ⊂ H gegeben∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖ = inf
g∈U‖f − g‖ ? Eindeutigkeit?
geometrische Deutung: ‘Lot’ von f auf U fällen
f
g0U
Bezeichnungen:
• δ(f, U) = infg∈U
‖f − g‖Hfalls ∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖H = δ(f,U) y g0 heißt beste Approximation von f in U
• U ⊆ H konvex ⇐⇒ ∀ x1, x2 ∈ U ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ U
Satz 2.25 Seien H ein Hilbertraum und U 6= ∅ eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge von H. Dannexistiert für alle f ∈ H genau eine beste Approximation g0 ∈ U . Die Abbildung P : H −→ U , f 7→ g0 = P (f)ist stetig.
Be w e i s : 1. Schritt: Unitätseien g1, g2 ∈ U beste Approximationen zu f , g1 6= g2 y ‖f − g1‖H = ‖f − g2‖H = δ(f, U),
g =g1 + g2
2∈ U y δ(f, U) = inf
h∈U‖f − h‖H ≤
∥∥∥f − g1 + g2
2︸ ︷︷ ︸
g
∥∥∥H≤ 1
2‖f − g1‖H︸ ︷︷ ︸
δ(f,U)
+1
2‖f − g2‖H︸ ︷︷ ︸
δ(f,U)
= δ(f, U)
y ‖f − g‖H = δ(f, u)
andererseits: g1 6= g2 y ‖g1 − g2‖H > 0
=========⇒Parallelogramm
‖f−g‖2H =1
4‖f−g1+f−g2‖2H =
1
4
(
2 ‖f − g1‖2H︸ ︷︷ ︸
δ(f,U)2
+2 ‖f − g2‖2H︸ ︷︷ ︸
δ(f,U)2
−‖g1 − g2‖2H︸ ︷︷ ︸
>0
)
< δ(f, U)2
2. Schritt: Existenz; zeigen zunächst
∀ ε > 0 ∃ α(ε) > 0 ∀ f ∈ H ∀ g1, g2 ∈ U, ‖f − g1‖H < δ(f, U) + α(ε), ‖f − g2‖H < δ(f, U) + α(ε) :
‖g1 − g2‖H < ε (1 + δ(f, U)) (20)
denn: aus der Parallelogramm-Gleichung, Satz 2.21(ii), folgt
‖g1 − g2‖2H = 2 ‖f − g1‖2H︸ ︷︷ ︸
78 2 Lineare und beschränkte Operatoren
jetzt: Existenz einer Bestapproximation
δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H =⇒ ∃ (gn)n ⊂ U : lim
n→∞‖f − gn‖H = δ(f, U) ==⇒
(20)(gn)n Cauchy-Folge in H
====⇒H vollst.
∃ g0 ∈ H : limn→∞
‖gn−g0‖H = 0 ====⇒U abg.
g0 ∈ U =======⇒‖ · ‖H stetig
‖f−g0‖H = limn→∞
‖f−gn‖H = δ(f, U)
3. Schritt : sei P : H −→ U , P (f) = g mit ‖f − g‖H = δ(f, U); z.z.: P stetigseien f0 ∈ H, g0 = P (f0) ⇐⇒ ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U)z.z.: ∀ ε > 0 ∃ γ(ε) > 0 ∀ f1 ∈ H, ‖f1 − f0‖H < γ(ε) : ‖P (f1)
︸ ︷︷ ︸g1
−P (f0)︸ ︷︷ ︸
g0
‖H < ε
seien ε > 0, δ(f0, U) ≤ µ, wollen (20) anwenden auf ε′ =ε
1 + µ, f0, g0, g1: ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U) X
y brauchen noch ‖f0 − g1‖H < δ(f0, U) + α(ε′) für ‖f1 − f0‖H < γ(ε):‖f0 − g1‖H ≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g1‖H
︸ ︷︷ ︸
δ(f1,U)≤ ‖f1−g0‖H
≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g0‖H︸ ︷︷ ︸
≤δ(f0,U)+‖f1−f0‖H
≤ δ(f0, U) + 2 ‖f1 − f0‖H︸ ︷︷ ︸
0
< ‖f − P (f)‖2H
=========⇒P (f) + λu ∈ U
P (f) nicht Bestapproximation y Widerspruch
2.2 Operatoren im Hilbertraum 79
zu (ii): f ∈ H =⇒(i)∃ u = P (f) ∈ U, v = f − P (f) ∈ U⊥ : f = u+ v
n.z.z.: Eindeutigkeit: seien f = u0 + v0 = u1 + v1 mit ui ∈ U , vi ∈ U⊥, i = 0, 1 y u0 − u1︸ ︷︷ ︸
∈U
= v1 − v0︸ ︷︷ ︸
∈U⊥y u0 − u1 ∈ U ∩ U⊥ ⇐⇒ u0 = u1, analog: v0 = v1
Bemerkung : seien U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H, H = U ⊕ V mit U⊥V ==⇒s.o.
V = U⊥
Folgerung 2.27 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein Teilraum. Dann gilt(U⊥
)⊥= U,
insbesondere ist für U⊥ = {0} der Raum U dicht in H, d.h. U = H.
Be w e i s : U ⊂ H abgeschlossener Teilraum =======⇒Satz 2.26(ii)
H = U ⊕(U)⊥
=Satz 2.24(ii)
U ⊕ U⊥ =: V ⊕ U⊥
===⇒Bem.
(U⊥
)⊥= V = U
Definition 2.28 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H. Dann heißt
PU : H→ U, PU : f 7→ PUf = g ∈ U und f − PUf ∈ U⊥
orthogonale Projektion von H auf U .
Bemerkung : • PU = P : H −→ aus Satz 2.25, d.h. PUf = g0 ∈ U beste Approximation,
‖f − PUf‖H = δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H
PU : H→ U ⊂ H stetig
• außerdem gelten: PU linear,
P 2U = PU , ‖PU‖L(H) = 1, N(PU ) = U⊥,
sowieidH − PU = PU⊥ y ‖ idH − PU‖L(H) = ‖PU⊥‖L(H) = 1
Dualräume, der Rieszsche Darstellungssatz
in Abschnitt 2.1.2:
• Satz 2.7 mit p = 2: (ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph, wobei L : ℓ2(N)→ (ℓ2(N))′, y 7→ Ly mit
Ly(x) =
∞∑
k=1
xkyk = 〈x, y〉2, x ∈ ℓ2(N), sowie ‖Ly‖(ℓ2(N))′ = ‖y‖ℓ2(N)
• Satz 2.8 mit p = 2: [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A y (L2(A, µ))′ ∼= L2(A, µ) isometrisch-isomorph, wobei L : L2(A, µ)→ (L2(A, µ))′, f 7→ Lf mit
Lf(g) =
∫
A
f(x)g(x) dµ(x) = 〈g, f〉2, g ∈ L2(A, µ), sowie∥∥Lf | (L2(A, µ))′
∥∥ = ‖f |L2(A, µ)‖
ℓ2(N), L2(A, µ) Hilberträume 99K Gilt i.a. H′ ∼= H isometrisch-isomorph, wobei L : H → H′, L : y 7→ Lymit
Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H, sowie ‖Ly‖H′ = ‖y‖H ?
80 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Lemma 2.29 Seien H ein Prä-Hilbertraum, y ∈ H, und Ly gegeben durch
Ly : H→ K, x 7→ Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H.
Dann gilt Ly ∈ H′ = L(H,K) mit ‖Ly‖H′ = ‖y‖H.
Be w e i s : Ly linear X; Ly beschränkt:
|Ly(x)| = |〈x, y〉| ≤Satz 2.21(i)
‖x‖H ‖y‖H y Ly ∈ H′, ‖Ly‖H′ ≤ ‖y‖H
sei y 6= 0 y x = y‖y‖H∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ly‖H′ ≥ |Ly(x)| =
∣∣∣∣
〈y
‖y‖H, y
〉∣∣∣∣=‖y‖2H‖y‖H
= ‖y‖H
Satz 2.30 (Satz von Riesz-Fréchet45)Seien H ein Hilbertraum und L ∈ H′. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Element y ∈ H mit derEigenschaft, dass gelten
L(x) = 〈x, y〉 für alle x ∈ H, sowie ‖L‖H′ = ‖y‖H.
Be w e i s : L ≡ 0 y y := 0; ab jetzt: L 6≡ 0
aus Lemma 2.29 klar: falls y ∈ H existiert mit L = Ly y ‖L‖H′ = ‖y‖H
Unität: ∃ y1, y2 ∈ H ∀ x ∈ H : L(x) = 〈x, y1〉 = 〈x, y2〉 y ∀ x ∈ H : 〈x, y1−y2〉 = 0 =======⇒x = y1 − y2
y1 = y2
Existenz: suchen y ∈ H mit L(x) = 〈x, y〉, x ∈ H y ∀ x ∈ N(L) : L(x) = 0 = 〈x, y〉 y y ∈ N(L)⊥
N(L) abgeschlossen =====⇒Satz 2.26
H = N(L)⊕N(L)⊥; zeigen: dimN(L)⊥ = 1L : N(L)⊥ → K Isomorphismus, denn: L linear ===⇒
L 6≡ 0L(N(L)⊥
)= L(H) = K, L injektiv auf N(L)⊥:
Lx1 = Lx2, xi ∈ N(L)⊥ y L(x1 − x2) = 0, x1, x2 ∈ N(L)⊥ y x1 − x2 ∈ N(L)∩N(L)⊥ y x1 = x2y dimN(L)⊥ = 1 ⇐⇒ ∃ y0 ∈ H, y0 6= 0 : N(L)⊥ = {λy0 : λ ∈ K}, o.B.d.A. ‖y0‖H = 1
sei x ∈ H ============⇒H = N(L) ⊕ N(L)⊥
∃ ! x0 ∈ N(L) ∃ ! λ0 ∈ K : x = x0 + λ0y0
y Lx = Lx0︸︷︷︸
0,x0∈N(L)
+λ0Ly0 = λ0Ly0 〈y0, y0〉︸ ︷︷ ︸
1
=〈λ0y0, (Ly0)y0
︸ ︷︷ ︸
=:y∈N(L)⊥
〉
= 〈x0, y〉︸ ︷︷ ︸
0
+〈λ0y0, y〉 = 〈x0 + λ0y0︸ ︷︷ ︸
x
, y〉 = 〈x, y〉
Bemerkung : betrachten J : H→ H′, Jy = Ly = 〈·, y〉 y J isometrisch, bijektiv, konjugiert-linear, d.h.
J(λ1y1 + λ2y2)(·) = 〈·, λ1y1 + λ2y2〉 = λ1〈·, y1〉+ λ2〈·, y2〉 =(λ1J(y1) + λ2J(y2)
)(·)
J∗ : H → H′, J∗y = 〈·, y〉 y J∗ isometrischer Isomorphismus y H′ ∼= H isometrisch-isomorph y (H′)′ ∼= H′ ∼= H, d.h. H ist reflexiv, H′ ist Hilbertraum bezüglich
〈L,K〉 := 〈J−1L, J−1K〉, L,K ∈ H′
45Maurice René Fréchet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 81
Definition 2.31 Sei H ein Hilbertraum. Eine Abbildung s : H×H→ K heißt Sesquilinearform, falls für allex, y, z ∈ H und λ, µ ∈ K gelten:
s (λx+ µy, z) = λs(x, z) + µs(y, z)
sowie
s (x, λy + µz) = λs(x, y) + µs(x, z).
Beispiele : • s(x, y) = 〈x, y〉 Skalarprodukt
• A ∈ L(H), s(x, y) = 〈Ax, y〉
Satz 2.32 (Lax46-Milgram47)Seien H ein Hilbertraum und s : H×H→ K eine stetige Sesquilinearform, d.h.
∃ C ≥ 0 ∀ x, y ∈ H : |s(x, y)| ≤ C‖x‖H‖y‖H.
(i) Es existiert genau ein Operator S ∈ L(H), für den gelten
‖S‖L(H) ≤ C und s(x, y) = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H.
(ii) Ist s zusätzlich koerzitiv, d.h.
∃ c > 0 ∀ x ∈ H : |s(x, x)| ≥ c‖x‖2H,
so ist S invertierbar, S−1 ∈ L(H) mit∥∥S−1
∥∥L(H) ≤
1c .
Be w e i s : zu (i): seien y ∈ H, betrachten sy(x) := s(x, y), x ∈ H y sy ∈ H′, ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H
=====⇒Satz 2.30
∃ ! y∗ ∈ H : s(x, y) = sy(x) = 〈x, y∗〉, x ∈ H, ‖y∗‖H = ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H;
setzen S : H→ H, Sy := y∗ y ‖Sy‖H ≤ C‖y‖H, s(x, y) = 〈x, y∗〉 = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H =====⇒Def. 2.31
S linear
y S ∈ L(H), ‖S‖L(H) ≤ C
zu (ii): s koerzitiv y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : c‖x‖2H ≤ |s(x, x)| =(i)|〈x, Sx〉| ≤
Satz 2.21(i)‖x‖H ‖Sx‖H
y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : ‖Sx‖H ≥ c‖x‖H y S injektiv; n.z.z.: S surjektiv auf H
S : H→ R(S) ⊆ H y g.z.z.: R(S) abgeschlossener Teilraum, R(S) = H
R(S) ⊆ H abgeschlossen: sei (yn)n ⊂ R(S) mit yn −−−−→n→∞
y ∈ H y ∃ (xn)n ⊂ H : Sxn −−−−→n→∞
y
y ‖xn − xm‖H ≤ 1c ‖Sxn − Sxm‖H −−−−−→n,m→∞ 0 y (xn)n ⊂ H Cauchyfolge =======⇒H vollständig ∃ x ∈ H :xn −−−−→
n→∞x =====⇒
S ∈ L(H)Sxn −−−−→
n→∞Sx = y y ∃ x ∈ H : Sx = y y y ∈ R(S)
R(S) = H: sei y ∈ R(S)⊥ y 0 = |〈y, Sy〉| = |s(y, y)| ≥ c‖y‖2H y y = 0 =====⇒Folg. 2.27 R(S) = H
y ∃ S−1 ∈ L(H),∥∥S−1
∥∥L(H) ≤
1c
46Peter David Lax (∗ 1.5.1926 Budapest)47Arthur Norton Milgram (∗ 3.6.1912 Philadelphia † 30.1.1961 )
82 2 Lineare und beschränkte Operatoren
2.2.2 Orthonormalbasen und Fourierreihen
Definition 2.33 Sei H ein Prä-Hilbertraum.
(i) Ein System {xj , j ∈ N} ⊂ H heißt Orthonormalsystem (ONS), falls für alle j, k ∈ N gilt
〈xj , xk〉 ={
1, j = k,
0, j 6= k.
(ii) Ein ONS {xj , j ∈ N} ⊂ H heißt Orthonormalbasis (ONB), falls gilt
∀ x ∈ H ∃ αj ∈ K : x =∞∑
j=1
αjxj (mit Konvergenz in H).
Bemerkung : • {xj , j ∈ N} ONS ⇐⇒ 〈xj , xk〉 = δjk ={
1, j = k,
0, j 6= k. Kronecker48-Symbol
⇐⇒ 〈xj , xk〉{
6= 0, j = k,= 0, j 6= k,
︸ ︷︷ ︸
{xj ,j∈N} Orthogonalsystem
und ‖xj‖H = 1, j ∈ N︸ ︷︷ ︸
{xj,j∈N} normiert
• {xj , j ∈ N} ONS y {xj , j ∈ N} linear unabhängig
• ONB ist i.a. keine (Vektorraum-)Basis, da für dimH = ∞ i.a. nicht endliche Linear-kombinationen zur Darstellung von x ausreichen
• {xj , j ∈ N} ONB y ∀ x ∈ H ∃ ! αj = 〈x, xj〉 ∈ K : x =∑
j∈N〈x, xj〉xj :
x =
∞∑
j=1
αjxj y 〈x, xk〉 =∞∑
j=1
αj 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸
δjk
= αk, k ∈ N
Bezeichnung: x =∑
j∈N〈x, xj〉xj . . . (abstrakte) Fourierreihe von x, αj = 〈x, xj〉 j-ter Fourierkoeffizient
Satz 2.34 Seien H ein Prä-Hilbertraum und {xj , j ∈ N} ⊂ H ein ONS. Dann gelten folgende Aussagen:
(i) Für n ∈ N und αj ∈ K ist∥∥∥
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥
2
H=
n∑
j=1
|αj |2.
(ii) Aus x =∞∑
j=1
αjxj folgt∞∑
j=1
|αj |2 = ‖x‖2H.
(iii) Für x ∈ H ist∥∥∥x−
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥H
genau dann minimal, wenn α = 〈x, xj〉, j ∈ N, gilt.
(iv) Für alle x ∈ H und n ∈ N gilt∥∥∥x−
n∑
j=1
〈x, xj〉xj∥∥∥
2
H= ‖x‖2H −
n∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ,
sowie die Bessel49sche Ungleichung∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H .
48Leopold Kronecker (∗ 7.12.1823 Liegnitz/Preußen † 29.12.1891 Berlin)49Friedrich Wilhelm Bessel (∗ 22.7.1784 Minden † 17.3.1846 Königsberg)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 83
Bemerkung : • in (ii) insbesondere: x ∈ H y∞∑
j=1
|αj |2 =∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2
84 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Satz 2.36 Seien H ein Hilbertraum und {xj , j ∈ N} ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) {xj , j ∈ N} ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
(ii) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 =∞∑
j=1
〈x, xj〉〈xj , y〉.
(iii) Für alle x ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung: ‖x‖2H =∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 .
(iv) Es ist span {xj , j ∈ N}⊥ = {0}, d.h. 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ⇐⇒ x = 0.
(v) span {xj , j ∈ N} ist dicht in H, d.h. span {xj , j ∈ N} = H.
Be w e i s : (i) =⇒ (ii) 〈x, y〉 =∞∑
j=1
∞∑
k=1
〈x, xj〉〈y, xk〉 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸
δjk
=
∞∑
j=1
〈x, xj〉〈xj , y〉
(ii) =⇒ (iii) ‖x‖2H = 〈x, x〉 =(ii)
∞∑
j=1
〈x, xj〉〈x, xj〉︸ ︷︷ ︸
|〈x,xj〉|2
=
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2
(iii) =⇒ (iv) sei x ∈ span {xj , j ∈ N}⊥ y 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iii)‖x‖H = 0 ⇐⇒ x = 0
(iv) =⇒ (i) seien x ∈ H =======⇒Satz 2.34(v)
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H n y ‖sn − sm‖2H =∥∥∥
m∑
j=n+1
〈x, xj〉xj∥∥∥
2
H=
Satz 2.34(i)
m∑
j=n+1
|〈x, xj〉|2 −−−−−→m,n→∞
0
y (sn)n Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig
∃ y ∈ H : sn −−−−→n→∞
y y ∃ y ∈ H : y =∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
y 〈y, xj〉 = 〈x, xj〉, j ∈ N y 〈y − x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iv)
x = y =
∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
(iv) =⇒ (v) sei U = span {xj , j ∈ N} ⊆ H ==⇒(iv)
U⊥ = {0} =====⇒Folg. 2.27
U = H
(v) =⇒ (iv) seien U = span {xj , j ∈ N}, y ∈ U⊥, z.z.: y = 0
y ∈ H =⇒(v)∃ (yj)j ⊂ U : yj −−−→
j→∞y ====⇒
y ∈ U⊥〈y, yj〉 = 0, j ∈ N y ‖y‖2H = limj→∞ 〈y, yj〉︸ ︷︷ ︸
0
= 0 y y = 0
Bemerkung : H Hilbertraum, dimH =∞, {xj , j ∈ N} ONB in H y H separabel:
betrachten UQ = spanQ {xj , j ∈ N} ={
m∑
j=1
λjxj : m ∈ N, λj ∈ KQ}
abzählbar, UQ = H
jetzt: sei H separabel y ∃ U = {hj, j ∈ N} ⊂ H : U = H, U abzählbar
o.B.d.A. U linear unabhängig, aber nicht orthogonal y können ONS daraus konstruieren
Lemma 2.37 (Gram-Schmidt51sches Orthogonalisierungsverfahren)Seien H ein Hilbertraum und U = {hj}j∈N ⊂ H linear unabhängig. Dann existiert ein ONS E = {ej}j∈Nin H, so dass gelten
span{h1, . . . , hn} = span{e1, . . . , en} für alle n ∈ N, sowie spanU = spanE.
51Erhard Schmidt (∗ 13.1.1876 Dorpat (Tartu)/Estland † 6.12.1959 Berlin)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 85
B e w e i s : z.z.: ∀ j, k ∈ N, k ≤ j ∃ ajk, ajj > 0 : ej =j
∑
k=1
ajkhk ONS in H, d.h. 〈em, er〉 = δmr
{hn}n∈N linear unabhängig y hn 6= 0, n ∈ N
induktiv : n = 1 : e1 :=h1‖h1‖H
, a11 =1
‖h1‖H> 0
n→ n+ 1 : seien jetzt e1, . . . , en−1 entsprechend definiert, setzen
un := hn −n−1∑
k=1
〈hn, ek〉ek, en :=un‖un‖H
un 6= 0, denn: un = 0 ⇐⇒ hn =n−1∑
k=1
〈hn, ek〉 ek ⇐⇒ hn ∈ span{e1, . . . , en−1}
====⇒Ind.vor.
hn ∈ span{h1, . . . , hn−1} ⇐⇒ {h1, . . . , hn} linear abhängig y Widerspruch
〈un, em〉 = 〈hn, em〉 −n−1∑
k=1
〈hn, ek〉 〈ek, em〉︸ ︷︷ ︸
δkm
= 〈hn, em〉 − 〈hn, em〉 = 0, m = 1, . . . , n− 1
y en ⊥ span{e1, . . . , en−1}, ‖en‖H = 1, ann =1
‖un‖H> 0
Bemerkung : geometrische Deutung für n = 3, H = ℓ32, d.h. R3 mit euklidischem Skalarprodukt
〈x, y〉 = 〈x, y〉2 =3∑
j=1
ξjηj , x = (ξ1, ξ2, ξ3), y = (η1, η2, η3)
h1
h2
u2 = h2 − 〈h2, e1〉e1
e2
e1
h3
e3 u3 = h3 − 〈h3, e1〉e1 − 〈h3, e2〉e2
e1〈h2, e1〉e1 〈h3, e1〉e1
e2
〈h3, e2〉e2
Satz 2.38 Sei H ein Hilbertraum mit dimH = ∞. Dann ist H separabel genau dann, wenn eine ONBE = {ej}j∈N in H existiert. In diesem Fall ist H ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph.
Be w e i s : nach Vorbemerkungen und Lemma 2.37 klar: H = U ⊂ span(U) = span(E) ⊆ H, {ej}j∈N ONS=====⇒Satz 2.36
{ej}j∈N ONB in H
zu H ∼= ℓ2(N): H separabel ∃ {xj}j ONB in H, betrachten
L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = {〈x, xj〉}j∈N
=======⇒Satz 2.36(iii)
‖x‖H = ‖Lx‖2 y L isometrisch, injektiv, linear, surjektiv: sei (αj)j∈N ∈ ℓ2(N)
y( n∑
j=1
αjxj)
n∈N Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig ∃ x ∈ H : x =∞∑
j=1
αjxj ==⇒ONS
αj = 〈x, xj〉, j ∈ N
y ∃ x ∈ H : Lx = (αj)j∈N y L isometrischer Isomorphismus
86 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiele : Orthogonale Polynome
betrachten gewichtete (reelle) L2-Räume auf (a, b) ⊂ R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, mit w λ1-messbar,w ≥ 0, sowie w > 0 λ1-f.ü.
〈f, g〉w =∫ b
a
f(x)g(x)w(x) dx
y orthogonalisieren (reelle) Polynome (Monome) {xj, j ∈ N0} bzgl. 〈·, ·〉w mit Gram-Schmidt-Verfahren (Lemma 2.37), gelegentlich andere Normierung üblich (statt ‖en‖H = 1)
(a) (a, b) = (−1, 1), w(x) = (1 − x)α(1 + x)β , α, β > −1 99K Jacobi-Polynome P (α,β)n (x)speziell: α = β = 0 ⇐⇒ w(x) ≡ 1 99K Legendre52-Polynome:
P0(x) =1√2, P1(x) =
√
3
2x, P2(x) =
3
4
√10
(
x2 − 13
)
, . . .
speziell: α = β = − 12 ⇐⇒ w(x) =1√
1− x299K Tschebyscheff53-Polynome (1. Art):
T0(x) =1√π, T1(x) =
√
2
πx, T2(x) =
√
2
π
(2x2 − 1
), . . .
üblich : Standardisierung, Tn(1) = 1
(b) (a, b) = (0,∞), w(x) = xα e−x, α > −1 99K Laguerre54-Polynome
L(α)0 (x) =
1√
Γ(α+ 1), L
(α)1 (x) =
1√
Γ(α+ 2)(x− (α + 1)) ,
L(α)2 (x) =
1√
2Γ(α+ 3)
((α+ 2)(α+ 1)− 2(α+ 2)x+ x2
), . . .
üblich : Standardisierung, an =(−1)n
n in L(α)n (x) = anx
n + · · ·+ a1x+ a0
(c) (a, b) = (−∞,∞) = R, w(x) = e−x2 99K Hermite55-Polynome:
H0(x) =14√π, H1(x) =
√2
4√π
x, H2(x) =
√2
4√π
(
x2 − 12
)
, . . .
üblich : Standardisierung, an = 2n in Hn(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0
Klassische Fourierreihen
H = L2(T) = L2,2π(R) = {f : R→ C : f ∈ L2(R), f 2π − periodisch},
〈f, g〉2 =∫ π
−πf(x)g(x) dx
y E =
{1√2π
eikx}
k∈ZONS in L2,2π(R): 〈eikx, eimx〉 =
∫ π
−πei(k−m)x dx =
{
2π, k = m
0, k 6= m
Menge der trigonometrischen Polynome T ={ m∑
k=−make
ikx, ak ∈ C, m ∈ N0}
= spanE (Folg. 1.45)
52Adrien-Marie Legendre (∗ 18.9.1752 Paris † 10.1.1833 Paris)53Pafnutij Lwowitsch Tschebyscheff (∗ 16.5.1821 Okatovo/Russland † 8.12.1894 St. Petersburg/Russland)54Edmond Nicolas Laguerre (∗ 9.4.1834 Bar-le-Duc/Frankreich † 14.8.1886 Bar-le-Duc/Frankreich)55Charles Hermite (∗ 24.12.1822 Dieuze, Lorraine/Frankreich † 14.1.1901 Paris)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 87
Folgerung 2.39 (i){
1√2π
eikx}
k∈Zist eine ONB in L2,2π(R)
(ii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt
f(x) =∑
k∈Zcke
ikx, x ∈ [−π, π], mit ck =1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikx dx.
(iii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt‖f |L2,2π‖2 = 2π
∑
k∈Z|ck|2.
(iv) Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in L2,2π(R) und C2π(C).
(v) Es gilt:∫ π
−πf(x)eikx dx = 0, k ∈ Z ⇐⇒ f = 0 f.ü.
Bemerkung : • ck . . . (klassische) Fourierkoeffizienten
• in (iv) auch Dichtheit in Lp,2π(R), 1 ≤ p
88 2 Lineare und beschränkte Operatoren
y ak = ck + c−k, k ∈ N0, bk =c−k − ck
i, k ∈ N
y f =∑
k∈Zcke
ikx =a02
︸︷︷︸c0
+∑
k∈N(ak cos(kx) + bk sin(kx))︸ ︷︷ ︸
(ckeikx+c−ke−ikx)
‖f |L2,2π‖2 = 2π∑
k∈Z|ck|2 = 2π
(a204
︸︷︷︸
|c0|2
+∑
k∈N
( (ak − ibk)24
︸ ︷︷ ︸
|ck|2
+(ak + ibk)
2
4︸ ︷︷ ︸
|c−k|2
))
= π(a202
+
∞∑
k=1
(a2k + b2k))
2.2.3 Adjungierte Operatoren und Projektoren
H Hilbertraum, A ∈ L(H), betrachten Sesquilinearform s(x, y) = 〈Ax, y〉=====⇒A ∈ L(H)
|s(x, y)| ≤ ‖A‖‖x‖H‖y‖H y s stetig =====⇒Satz 2.32
∃ ! S =: A∗ ∈ L(H) ∀ x, y ∈ H:
〈Ax, y〉 = s(x, y) = 〈x,A∗y〉, und ‖A∗‖L(H) ≤ ‖A‖L(H) (21)
Definition 2.40 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).(i) Der durch (21) gegebene Operator A∗ ∈ L(H) heißt zu A ∈ L(H) adjungierter Operator.
(ii) A ∈ L(H) heißt selbstadjungiert, falls gilt A∗ = A.
(iii) A ∈ L(H) heißt normal, falls gilt A∗A = AA∗.
(iv) A ∈ L(H) heißt unitär, falls gilt A∗ = A−1.
Bemerkung : • A ∈ L(H1,H2) y A∗ ∈ L(H2,H1) adjungierter Operator zu A ∈ L(H1,H2)
• A ∈ L(H) selbstadjungiert ⇐⇒ A = A∗ ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ HA ∈ L(H) selbstadjungiert =⇒ A normal
• A ∈ L(H) unitär ⇐⇒ A surjektiv und 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, x, y ∈ HA ∈ L(H) unitär =⇒ A normal
Beispiele : (a) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)nj,k=1, A ∈ L(Kn)
x, y ∈ Kn y 〈Ax, y〉 =n∑
j=1
(Ax)jyj =
n∑
j=1
n∑
k=1
ajkxk
︸ ︷︷ ︸
(Ax)j
yj =
n∑
k=1
xk
n∑
j=1
ajkyj
︸ ︷︷ ︸
(A∗y)k
= 〈x,A∗y〉
mit A∗ ←→ (akj)nj,k=1(b) Fredholm-Integraloperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω×Ω→ K, k ∈ L2(Ω×Ω),
(Kf)(x) =
∫
Ω
k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω
=====⇒Satz 2.13
K ∈ K(L2(Ω)) ⊂ L(L2(Ω))
〈Kf, g〉2 =∫
Ω
(∫
Ω
k(x, y)f(y) dy)
︸ ︷︷ ︸
Kf(x)
g(x) dx =Fubini
∫
Ω
(∫
Ω
k(x, y)g(x) dx)
︸ ︷︷ ︸∫Ωk(x,y)g(x) dx
f(y) dy
= 〈f,K∗g〉2
mit (K∗g)(y) =∫
Ω
k(x, y)g(x) dx
2.2 Operatoren im Hilbertraum 89
Beispiele : (c) Multiplikationsoperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, ϕ ∈ L∞(Ω)Mϕ : L2(Ω)→ L2(Ω), f 7→Mϕf = ϕf y Mϕ ∈ L(L2(Ω))
〈Mϕf, g〉2 =∫
Ω
ϕ(x)f(x)︸ ︷︷ ︸
Mϕf(x)
g(x) dx =
∫
Ω
f(x)(ϕg)(x) dx = 〈f,Mϕg〉2 y (Mϕ)∗ = Mϕ
y (Mϕ)∗ Mϕ = MϕMϕ = Mϕϕ = Mϕ (Mϕ)
∗ y Mϕ normal
Mϕ selbstadjungiert ⇐⇒ Mϕ = (Mϕ)∗ ⇐⇒ ϕ = ϕ f.ü. in ΩMϕ unitär ⇐⇒ id = Mϕ (Mϕ)∗ = Mϕϕ ⇐⇒ ϕ(x)ϕ(x) = |ϕ(x)|2 = 1 f.ü. in Ωspeziell: ϕ(x) = eix y Mϕ unitär
(d) H Hilbertraum, {xj}j ONB in H, L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = {〈x, xj〉}j∈Ny L unitär, da surjektiv und
〈Lx,Ly〉2 =∞∑
j=1
〈x, xj〉︸ ︷︷ ︸
(Lx)j
〈y, xj〉︸ ︷︷ ︸
(Ly)j
=
∞∑
j=1
〈x, xj〉〈xj , y〉 =Satz 2.36(ii)
〈x, y〉H, x, y ∈ H
Satz 2.41 Seien H ein Hilbertraum und A,B ∈ L(H).(i) (A+B)∗ = A∗ +B∗, (λA)∗ = λA∗, λ ∈ K
(ii) (AB)∗ = B∗A∗
(iii) (A∗)∗ = A
(iv) ‖A∗‖ = ‖A‖
(v) ‖AA∗‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2
(vi) Falls A−1 ∈ L(H) existiert, so auch (A∗)−1 ∈ L(H), es gilt (A∗)−1 =(A−1
)∗.
(vii) Es sind R(A)⊥ = N (A∗) und R (A∗)⊥ = N(A), insbesondere gilt
H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A).
Be w e i s : zu (i)-(iii): folgt aus Definition 2.40 und Satz 2.32, z.B.
〈(AB)x, y〉 = 〈Bx,A∗y〉 = 〈x, (B∗A∗)y〉 ===⇒Unität
(AB)∗ = B∗A∗
〈A∗x, y〉 = 〈y,A∗x〉 = 〈Ay, x〉 = 〈x,Ay〉 = 〈x, (A∗)∗ y〉 ===⇒Unität
(A∗)∗ = A
zu (iv): aus Satz 2.32 bereits ‖A∗‖ ≤ ‖A‖sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ax‖2H = 〈Ax,Ax〉 = 〈x,A∗Ax〉 ≤ ‖A∗A‖
1︷ ︸︸ ︷
‖x‖2H ≤ ‖A∗‖ ‖A‖==⇒supx
‖A‖2 ≤ ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖ ‖A‖, o.B.d.A. A 6= 0 y ‖A‖ ≤ ‖A∗‖
zu (v): ‖AA∗‖ =(ii)-(iv)
‖A∗A‖ ≤(iv)‖A‖2 ≤
(iv)‖A∗A‖ = ‖AA∗‖
zu (vi): ∃ A−1 ∈ L(H) y A−1A = idH = id∗H =(A−1A
)∗=(ii)
A∗(A−1
)∗
analog: idH =(A−1
)∗A∗ y (A∗)−1 =
(A−1
)∗ ∈ L(H)zu (vii): x ∈ N(A) ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ 〈x,A∗y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ x ∈ (R(A∗))⊥
y R (A∗)⊥ = N(A) y R(A)⊥ = R ((A∗)∗)⊥ = N(A∗) =====⇒Satz 2.26
H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A)
90 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Bemerkung : analoge Aussagen gelten für A ∈ L(H1,H2), A∗ ∈ L(H2,H1)
Satz 2.42 Sei A ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gelten
〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, sowie ‖A‖ = sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉| .
Be w e i s : A = A∗ y 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉 = 〈Ax, x〉 y 〈Ax, x〉 ∈ R
sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y |〈Ax, x〉| ≤Satz 2.21(i)
‖A‖ ‖x‖2H︸ ︷︷ ︸
1
y sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉| ≤ ‖A‖
n.z.z.: ‖A‖ ≤ sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉| =: γ
sei x ∈ H, x 6= 0 y |〈Ax, x〉| = ‖x‖2H∣∣∣∣
〈
Ax
‖x‖H,
x
‖x‖H
〉∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤γ
≤ γ‖x‖2H (22)
〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 = 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+=〈z,Ay〉,A=A∗︷ ︸︸ ︷
〈Az, y〉 +〈Az, z〉− 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+ 〈Az, y〉
︸ ︷︷ ︸
=〈z,Ay〉,A=A∗
−〈Az, z〉
= 2〈Ay, z〉+ 2 〈z, Ay〉︸ ︷︷ ︸
〈Ay,z〉
= 4 ℜe 〈Ay, z〉 ∈ R
y 4 ℜe 〈Ay, z〉 = 〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 ≤(22)
γ(‖y + z‖2H + ‖y − z‖2H
)
︸ ︷︷ ︸
=2‖y‖2H+2‖z‖2
H, Satz 2.21(ii)
y 2 ℜe 〈Ay, z〉 ≤ γ(‖y‖2H + ‖z‖2H
)(23)
sei u ∈ H, ‖u‖H = 1, setzen y = ‖Au‖Hu, z = Au y ‖y‖H = ‖z‖H = ‖Au‖H
==⇒(23)
2ℜe 〈Ay, z〉 = 2ℜe ‖Au‖H〈Au,Au〉︸ ︷︷ ︸
‖Au‖3H
≤ 2γ‖Au‖2H y ‖Au‖H ≤ γ ==⇒supu
‖A‖ ≤ γ = sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉|
Bemerkung : später: A : H→ H linear & symmetrisch, d.h. 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H=⇒ A ∈ L(H), A = A∗
Satz 2.43 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).(i) Falls A selbstadjungiert ist, sowie für alle x ∈ H gilt 〈Ax, x〉 = 0, so ist A = 0.
(ii) A normal ⇐⇒ ‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H.
(iii) Sei H komplex. Es gilt A = A∗ genau dann, wenn 〈Ax, x〉 ∈ R für alle x ∈ H ist.
Be w e i s : zu (i): 〈Ax, x〉 = 0, x ∈ H =====⇒Satz 2.42
‖A‖ = 0 ⇐⇒ A = 0
zu (ii): ‖Ax‖2H − ‖A∗x‖2H = 〈Ax,Ax〉
︸ ︷︷ ︸
〈Ax,(A∗)∗x〉,Satz 2.41
− 〈A∗x,A∗x〉︸ ︷︷ ︸
〈A(A∗x),x〉
= 〈A∗Ax, x〉 − 〈AA∗x, x〉 = 〈(A∗A−AA∗)x, x〉
A normal ⇐⇒ A∗A = AA∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⇀↽−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(i), da (A∗A−AA∗)∗=(A∗A−AA∗)
‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H
zu (iii): =⇒ folgt aus Satz 2.42
2.2 Operatoren im Hilbertraum 91
⇐= x, y ∈ H y 〈A(x + y), x+ y〉︸ ︷︷ ︸
∈R
= 〈Ax, x〉︸ ︷︷ ︸
∈R
+〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉+ 〈Ay, y〉︸ ︷︷ ︸
∈R
y 〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉 ∈ R y ℑm(
〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉)
︸ ︷︷ ︸
ℑm 〈Ax,y〉−ℑm 〈x,Ay〉
= 0 y ℑm 〈Ax, y〉 = ℑm 〈x,Ay〉, x, y ∈ H (24)
====⇒z = ix
ℑm 〈Az, y〉︸ ︷︷ ︸
i〈Ax,y〉︸ ︷︷ ︸
iℜe 〈Ax,y〉
= ℑm 〈z, Ay〉︸ ︷︷ ︸
i〈x,Ay〉︸ ︷︷ ︸
iℜe 〈x,Ay〉
⇐⇒ ℜe 〈Ax, y〉 = ℜe 〈x,Ay〉 ==⇒(24)
〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H
=====⇒A∗ eind.
A = A∗
Bemerkung : A normal =======⇒Satz 2.43(ii)
‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, d.h. Ax = 0 ⇐⇒ A∗x = 0 ⇐⇒ N(A) =N(A∗)
Projektoren im Hilbertraum
bisher: orthogonale Projektoren (Def. 2.28), d.h. U ⊂ H abgeschlossener Teilraum von H,
PU : H→ U, PU : f 7→ PUf ∈ U mit f − PUf ∈ U⊥, ‖f − PUf‖H = infh∈U‖f − h‖H
Satz 2.44 Seien H ein Hilbertraum und P ∈ L(H). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) P ist ein orthogonaler Projektor, d.h. es existiert ein abgeschlossener Teilraum U ⊂ H mit P = PU .
(ii) Es gilt P ∗ = P = P 2.
(iii) Es gilt P = P 2 und P ≥ 0, d.h. für alle x ∈ H ist 〈Px, x〉 ≥ 0.
Be w e i s : (i) =⇒ (ii) z.z.: P 2U = PU : P 2U : HPU−−→ U ⊆ H PU−−→ U ; sei f̃ = PUf y g.z.z.: PUf beste
Approximation zu f̃
0 = ‖PUf − PUf‖H = ‖f̃ − PUf‖H ≥ infh∈U‖f̃ − h‖H ≥ 0 y ‖f̃ − PUf‖H = inf
h∈U‖f̃ − h‖H = 0
f̃ − PUf = PUf − PUf = 0 ∈ U⊥ =====⇒Satz 2.25
PUf ist eindeutig bestimmte beste Approximation zu
f̃ = PUf =====⇒Def. 2.28
P 2Uf = PU f̃ = PUf ======⇒f ∈ H bel.
P 2U = PU
z.z.: P ∗U = PU : h ∈ H =====⇒Satz 2.26 h = PUh︸︷︷︸∈U
+(h− PUh)︸ ︷︷ ︸
∈U⊥
y 〈PUf, g〉 = 〈PUf, PUg〉+ 〈PUf︸︷︷︸
∈U
, g − PUg︸ ︷︷ ︸
U⊥
〉
︸ ︷︷ ︸0
= 〈f, PUg〉+ 〈PUf − f︸ ︷︷ ︸
∈U⊥
, PUg︸︷︷︸
∈U
〉
︸ ︷︷ ︸0
= 〈f, PUg〉 =====⇒P∗ eind.
P ∗ = P
(ii) =⇒ (iii) 〈Px, x〉 =P 2 = P
〈P 2x, x〉 =P∗ = P
〈Px, Px〉 = ‖Px‖2H ≥ 0
(iii) =⇒ (i) setzen U := R(P ) = P (H) = {x ∈ H : x = Px} ⊆ H ======⇒P ∈ L(H)
U linearer Teilraum
z.z.: U = U : sei (yj)j ⊂ U, yj −−−→j→∞
y y ∃ (xj)j ⊂ H : yj = Pxj −−−→j→∞
y
======⇒P ∈ L(H)
∃ (xj)j ⊂ H : Pyj = P 2xj︸ ︷︷ ︸
Pxj
−−−→j→∞
Py ========⇒Pxj −−−−→
j→∞y
y = Py y y ∈ U
sei x ∈ H y P (x−Px) = Px− P 2x︸︷︷︸
Px
= 0 y x−Px ∈ N(P ), Px = P 2x = P (Px) y Px ∈ R(P ) = U
y ∀ x ∈ H ∃ x1 = x−Px ∈ N(P ), x2 = Px ∈ R(P ) : x = x1+x2 y H = N(P )+R(P ) = N(P )+U
92 2 Lineare und beschränkte Operatoren
sei y ∈ U ∩N(P ) y y = Py = 0 y U ∩N(P ) = {0}; n.z.z.: N(P ) = U⊥
seien x1 ∈ N(P ), x2 ∈ U = R(P ), z.z.: 〈x1, x2〉 = 〈x2, x1〉 = 0
0 ≤ 〈P (x1 + x2), x1 + x2〉 = 〈 Px1︸︷︷︸0
, x1 + x2〉︸ ︷︷ ︸
0
+〈 Px2︸︷︷︸x2
, x1〉+ 〈 Px2︸︷︷︸x2
, x2〉
︸ ︷︷ ︸
‖x2‖2H
= 〈x2, x1〉+ ‖x2‖2H
y −‖x2‖2H ≤ 〈x2, x1〉 ∈ R; Annahme: 〈x2, x1〉 =: γ > 0 y x2 6= 0
betrachten u = −2‖x2‖2H
γx1 ======⇒
x1 ∈ N(P )u ∈ N(P )
==⇒s.o.−‖x2‖2H ≤ 〈x2, u〉 = −
2‖x2‖2Hγ
〈x2, x1〉︸ ︷︷ ︸
γ
= −2‖x2‖2H y ‖x2‖H = 0 y x2 = 0
bisher: A ∈ L(H) ⇐⇒ A∗ ∈ L(H); jetzt: A ∈ K(H) ?⇐=⇒ A∗ ∈ K(H)
zur Erinnerung: F(H1,H2) = {A ∈ L(H1,H2) : rank(A) 0 ∃ {y1, . . . , ynε} ⊂ H : endliches ε-Netz für A(UH)
sei ε > 0, setzen Vε := span{y1, . . . , ynε} ⊂ H y dim Vε ≤ nε y Vε = Vε abgeschlossensei Pε = PVε : H → Vε orthogonaler Projektor y Aε := PεA : H → Vε ⊂ H, y Aε ∈ L(H), mitrank(Aε) ≤ rank(Pε) = rank(Vε) ≤ nε y Aε ∈ F(H)sei x ∈ UH, d.h. ‖x‖H ≤ 1
y ‖Ax−Aεx‖H =y = Ax
‖y − Pεy‖H =Satz 2.26
infh∈Vε
‖y − h‖H ≤y = Ax
minj=1,...,nε
∥∥
∈A(UH)︷︸︸︷
Ax −yj∥∥H
<ε-Netz
ε
==⇒supx
‖A−Aε‖ < ε y ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ F(H), rank(Aε) ≤ nε : ‖A− Aε‖ < ε
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 93
2. Schritt: zu (ii) =⇒ A ∈ K(H) =⇒(i)∃ (An)n ∈ F(H) : ‖A−An‖ −−−−→
n→∞0
=======⇒Lemma 2.45
∃ (A∗n)n ∈ F(H) : ‖A∗ −A∗n‖ =Satz 2.41
‖A−An‖ −−−−→n→∞
0 =⇒(i)
A∗ ∈ K(H)
⇐= A∗ ∈ K(H) ==⇒s.o.
(A∗)∗ ∈ K(H) =====⇒Satz 2.41
A = (A∗)∗ ∈ K(H)
Bemerkung : • (i) entsprichtF(H) = K(H); allgemein: F(H1,H2) = K(H1,H2), H1, H2 Hilberträume
• siehe Bemerkung nach Folg. 2.12: für Banachräume gilt i.a. F(X,Y) ( K(X,Y)
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum
2.3.1 Die Fredholmsche Alternative
H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH y id∗ = id,
============⇒Satz 2.41 für A − id
H = R(A− id)⊕N (A∗ − id) = R (A∗ − id)⊕N(A− id)
Lemma 2.47 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H). Dann existiert ein c > 0, so dass gilt
‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H für alle z ∈ N(A− id)⊥.
Be w e i s : indirekt, Annahme: ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥ : ‖zk‖H > k ‖(A− id)zk‖Ho.B.d.A. ‖zk‖H = 1, k ∈ N y ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥, ‖zk‖H = 1 : ‖(A− id)zk‖H < 1k (25)
A ∈ K(H) =====⇒Def. 2.10
A(UH) = {Ax : x ∈ H, ‖x‖H ≤ 1} präkompakt(Azk)k ⊂ A(UH) y ∃ (Azkr )r∈N ⊂ (Azk)k ∃ y ∈ H : Azkr −−−→
r→∞y
y zkr = Azkr︸ ︷︷ ︸−−−→r→∞
y
− (A− id)zkr︸ ︷︷ ︸
−−−→r→∞
0,(25)
−−−→r→∞
y ==============⇒zkr ∈ N(A − id)⊥ abg.
y ∈ N(A− id)⊥, ‖y‖H = limr→∞
‖zkr‖H = 1
(A− id)y = limr→∞
(A− id)zkr =(25)
0 y y ∈ N(A− id) ∩N(A− id)⊥ = {0}, ‖y‖H = 1
Satz 2.48 (Fredholmsche Alternative)
Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H). Dann gelten folgende Aussagen:(i) dimN(A− id)
94 2 Lineare und beschränkte Operatoren
zu (ii): sei (yk)k ⊂ R(A− id), yk −−−−→k→∞
y ∈ H; z.z.: y ∈ R(A− id)
(yk)k ⊂ R(A− id) y ∃ (xk)k ⊂ H : yk = (A− id)xkSatz 2.26 mit U = N(A− id) y H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥
y ∀ k ∈ N ∃ ! uk ∈ N(A− id) ∃ ! vk ∈ N(A− id)⊥ : xk = uk + vk
y yk = (A− id) (uk + vk)︸ ︷︷ ︸
xk
= (A− id)uk︸ ︷︷ ︸
0,uk∈N(A− id)
+(A− id)vk = (A− id)vk, vk ∈ N(A− id)⊥
=======⇒Lemma 2.47
∃ c > 0 ∀ k,m ∈ N : ‖vk − vm‖H ≤ c‖(A− id)(vk − vm)‖H = ‖yk − ym‖H −−−−−→k,m→∞
0
y (vk)k∈N ⊂ H Cauchy-Folge y ∃ v ∈ H : vk −−−−→k→∞
v
y ∃ v ∈ H : y = limk→∞
yk = limk→∞
(A− id)vk =A ∈ L(H)
(A− id)v ⇐⇒ y ∈ R(A− id)
zu (iii): folgt aus (ii) und Satz 2.41 für A− id
zu (iv): ⇐= sei N(A− id) = {0}, z.z.: R(A− id) = H; indirekt, Annahme: R(A− id) ( H
=====⇒Satz 2.41
N(A∗ − id) ) {0} y ∃ y1 ∈ H, y1 6= 0 : (A∗ − id)y1 = 0, o.B.d.A. ‖y1‖H = 1
N(A− id) = {0} =====⇒Satz 2.41
H = R(A∗ − id) =(iii)
R(A∗ − id)
y1 ∈ H ==========⇒H = R(A∗ − id)
∃ y2 ∈ H : y1 = (A∗ − id)y2 y y2 6= 0, (A∗ − id)2y2 = (A∗ − id)y1 = 0y y2 ∈ N((A∗ − id)2) \N(A∗ − id)
Iteration 99K ∃ (yk)k∈N ⊂ H : yk 6= 0, (A∗ − id)yk+1 = yk, yk ∈ N((A∗ − id)k
)\N
((A∗ − id)k−1
)
y N (A∗ − id) ( N((A∗ − id)2
)( · · · ( N
((A∗ − id)k−1
)( N
((A∗ − id)k
)( · · ·
setzen Hk := N((A∗ − id)k
)y H1 ( H2 ( · · · ( Hk−1 ( Hk ( · · ·
=====⇒Satz 2.26
Hk+1 = Hk︸︷︷︸
(Hk+1
⊕H⊥k y H⊥k ) {0}, k ∈ N y ∃ (yk)k ⊂ H : yk+1 ∈ H⊥k ⊂ Hk+1, ‖yk‖H = 1
A ∈ K(H) =====⇒Satz 2.46
A∗ ∈ K(H) y {A∗yk, k ∈ N} präkompakt in H
sei n > m ∈ N y ‖A∗yn −A∗ym‖2H =∥∥yn +
y∈Hn−1︷ ︸︸ ︷
(A∗ − id)yn︸ ︷︷ ︸
yn−1∈Hn−1
− ym︸︷︷︸
∈Hm⊆Hn−1
− (A∗ − id)ym︸ ︷︷ ︸
ym−1∈Hm−1(Hn−1
∥∥2
H= ‖yn − y‖2H
======⇒yn ∈ H⊥n−1
‖A∗yn −A∗ym‖2H = ‖yn − y‖2H =Satz 2.24(i)
‖yn‖2H + ‖y‖2H︸ ︷︷ ︸
≥0
≥ ‖yn‖2H = 1, n > m
y {A∗yk, k ∈ N} nicht präkompakt in H
=⇒ R(A− id) = H =====⇒Satz 2.41
N(A∗ − id)⊥ = H =====⇒Satz 2.26
N(A∗ − id) = {0} ==⇒s.o.
R(A∗ − id) = H=====⇒Satz 2.41
{0} = N ((A∗)∗ − id) =(A∗)∗ = A
N(A− id)
zu (v): seien dimN(A− id) = m, dimN(A∗ − id) = n, z.z.: m = nindirekt, Annahme: dimN(A− id) = m < n = dimN(A∗ − id) =
Satz 2.41dimR(A− id)⊥
y ∃ L0 : N(A− id)→ R(A− id)⊥, L0 linear, injektiv, nicht surjektiv(da dimL0(N(A− id)) ≤ dimN(A− id) < dimR(A− id)⊥)
zerlegen H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥ y ∀ x ∈ H ∃ ! x1 ∈ N(A− id) ∃ ! x2 ∈ N(A− id)⊥ : x = x1+x2
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 95
setzen L : H→ H mit Lx = L0x1 ∈ R(A− id)⊥, insbesondere Lx ={
L0x, x ∈ N(A− id)0, x ∈ N(A− id)⊥
y L : H→ R(A− id)⊥ =============⇒dimR(A − id)⊥ = n
L ∈ K(H) (Satz 2.11) ======⇒A ∈ K(H)
K = A+ L ∈ K(H)
sei u ∈ N(K− id) y 0 = (K− id)u = Au+Lu−u ⇐⇒ (A− id)u︸ ︷︷ ︸
∈R(A− id)
= −Lu ∈ R(A− id)⊥∩R(A− id) = {0}
y (A− id)u = 0 = −Lu y u = 0, da L|N(A− id) = L0 injektiv
y N(K − id) = {0} =======⇒(iv), A = K
R(K − id) = H
L injektiv, nicht surjektiv y ∃ v ∈ R(A− id)⊥ \R(L) ============⇒v ∈ H = R(K − id)
∃ u ∈ H : (K − id)u = v
y (A− id)u︸ ︷︷ ︸
∈R(A− id)
= (K − id)u− Lu = v − Lu︸︷︷︸
∈R(A− id)⊥∈ R(A− id)⊥ ∩R(A− id) = {0}
y (A− id)u = 0 ⇐⇒ v = Lu ∈ R(L) y Annahme falsch, d.h. dimN(A− id) ≥ dimN(A∗ − id)
analog für A↔ A∗ y dimN(A∗ − id) ≥ dimN(A− id) y dimN(A∗ − id) = dimN(A− id)
Bemerkung : • sei U ⊆ H abgeschlossen, H = U ⊕ V 99K codimU := dim V Kodimension von U
• T ∈ L(H) Fredholm-Operator
⇐⇒ R(T ) = R(T ), dimN(T )
96 2 Lineare und beschränkte Operatoren
2.3.2 Das Spektrum kompakter und selbstadjungierter Operatoren
Erinnerung: H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH (Definition 2.14)• ̺̺̺(A) =
{λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)
}Resolventenmenge von A
• σσσ(A) = C \ ̺̺̺(A) Spektrum von A• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 ⇐⇒ dimN(A− λ id) ≥ 1x0 ∈ H Eigenvektor zum Eigenwert λ für A• λ Eigenwert von A der (geometrischen) Vielfachheit k ∈ N ⇐⇒ dimN(A− λ id) = k• λ Eigenwert y λ ∈ σσσ(A)• dimH =∞, A ∈ K(H) y 0 ∈ σσσ(A)
Satz 2.50 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H).(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen Eigenwerten endlicher
Vielfachheit, die verschieden von 0 sind,
σσσ(A) = {0} ∪ {λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id) 0 ∃ (λj)∞j=1 (Teil-) Folge von Eigenwerten mit λj 6= λk, j 6= k, und |λk| ≥ r0 y∃ (xj)∞j=1 ⊂ H : xj 6= 0, Axj = λjxj , o.B.d.A. ‖xj‖H = 1
zeigen: {xj , j ∈ N} linear unabhängig:Induktion, n→ n+ 1: seien {xj , j = 1, . . . , n} linear unabhängig
n+1∑
j=1
αjxj = 0
=====⇒λn+1 6= 0
n+1∑
j=1
λn+1αjxj = 0
=====⇒A ∈ L(H)
A
( n+1∑
j=1
αjxj
)
=
n+1∑
j=1
αj Axj︸︷︷︸
λjxj
= 0
======⇒Subtraktion
n∑
j=1
(λn+1 − λj)αjxj = 0
====⇒Ind.vor.
(λn+1 − λj)︸ ︷︷ ︸
6=0,j≤n
αj = 0, j = 1, . . . , n y αj = 0, j = 1, . . . , n
==⇒s.o.
0 =
n+1∑
j=1
αjxj = αn+1 xn+1︸ ︷︷ ︸
6=0
y αn+1 = 0
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 97
sei Hn = span{x1, . . . , xn} y dimHn = n y Hm−1 ( Hm ⊆ Hn−1 ( Hn, n > m
x ∈ Hn y (A− λn id)(x) = (A− λn id)( n∑
j=1
αjxj
)
=n∑
j=1
αj(Axj − λnxj) =n−1∑
j=1
αj(λj − λn)xj ∈ Hn−1
y (A− λn id)(Hn) ⊆ Hn−1
Hn = Hn−1 ⊕H⊥n−1, n ≥ 2; dimHn > dimHn−1 y ∃ yn ∈ H⊥n−1 ⊂ Hn, ‖yn‖H = 1; sei n > m
‖Ayn −Aym‖2H = ‖ (A− λn id)yn︸ ︷︷ ︸
∈Hn−1
− (A− λm id)ym︸ ︷︷ ︸
∈Hm−1⊂Hn−1
+ λnyn︸ ︷︷ ︸
∈H⊥n−1
−λmym︸ ︷︷ ︸
∈Hm⊆Hn−1
‖2H
= ‖ y︸︷︷︸
∈Hn−1
+ λnyn︸ ︷︷ ︸
∈H⊥n−1
‖2H =Satz 2.24
‖y‖2H + ‖λnyn‖2H︸ ︷︷ ︸
|λn|2
≥ |λn|2 ≥ r20
y ∃ {yn}n ⊂ H, ‖yn‖H = 1 : ‖Ayn−Aym‖H ≥ r0, n > m y ∃ {yn}n ⊂ H : {yn}n beschränkt, {Ayn}nnicht präkompakt, aber A ∈ K(H)
zu (iii): sei λ ∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)=======⇒Satz 2.41(vi)
∃ ((A− λ id)∗)−1 =((A− λ id)−1
)∗ ∈ L(H) ⇐⇒ ∃(A∗ − λ id
)−1 ∈ L(H) y λ ∈ ̺̺̺(A∗)
y {λ : λ ∈ ̺̺̺(A)} ⊆ ̺̺̺(A∗) y σσσ(A∗) ⊆ {λ : λ ∈ σσσ(A)}y σσσ(A) = σσσ ((A∗)∗) ⊆ {λ : λ ∈ σσσ(A∗)} ⊆ σσσ(A) ⇐⇒ σσσ(A∗) = {λ : λ ∈ σσσ(A)}
jetzt: A ∈ K(H), A = A∗
• Folg. 2.16: r(A) = limk→∞
k
√
‖Ak‖ ≤ ‖A‖; ÜA II-19: A ∈ L(H) normal y r(A) = ‖A‖
• Satz 2.18: |λ| > r(A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H) y {λ ∈ C : |λ| > r(A)} ⊆ ̺̺̺(A)y σσσ(A) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ r(A)}
• Satz 2.42: 〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, ‖A‖ = sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉|
• Satz 2.50: dimH =∞ y σσσ(A∗) = {λ : λ ∈ σσσ(A)},
σσσ(A) = {0} ∪ {λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id)
98 2 Lineare und beschränkte Operatoren
y (〈Axnr , xnr 〉)r ⊂ R beschränkt ===========⇒Bolzano-Weierstraß ∃(
xnrk
)
k⊂ (xnr )r ∃ λ0 ∈ R :
〈
Axnrk , xnrk
〉
−−−−→k→∞
λ0,∣∣∣
〈
Axnrk , xnrk
〉∣∣∣ −−−−→
k→∞‖A‖ y |λ0| = ‖A‖ 6= 0
0 ≤∥∥∥Axnrk − λ0xnrk
∥∥∥
2
H=
∥∥∥Axnrk
∥∥∥
2
H︸ ︷︷ ︸
≤‖A‖2‖xnrk ‖2=|λ0|2
− 2λ0〈
Axnrk , xnrk
〉
+ |λ0|2 ‖xnrk ‖2H
︸ ︷︷ ︸
1
≤ 2|λ0|2 − 2λ0〈
Axnrk , xnrk
〉
︸ ︷︷ ︸
−−−−→k→∞
λ0
−−−−→k→∞
0
y y = limk→∞
Axnrk = limk→∞
(
Axnrk − λ0xnrk)
︸ ︷︷ ︸0
+λ0 limk→∞
xnrk y ∃ x0 =y
λ0∈ H : x0 = lim
k→∞xnrk
y ‖x0‖H = limk→∞
‖xnrk ‖H = 1, Ax0 = limk→∞Axnrk = y = λ0x0 y λ0 = ±‖A‖ Eigenwert zu x0 ∈ H
Satz 2.52 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H) mit A = A∗.(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen von Null verschiedenen
reellen Eigenwerten endlicher Vielfachheit, die sich in 0 häufen.
(ii) Sei (λn)n∈N die Folge aller Eigenwerte, geordnet entsprechend ihrer Vielfachheit und Größe,
|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · |λn| ≥ · · · ≥ 0, λn −−−−→n→∞
0.
Dann existiert ein ONS (xn)n ⊂ H von Eigenelementen, mit folgenden Eigenschaften:(a) Axn = λnxn, n ∈ N;(b) für Hn = span{x1, . . . , xn}, n ∈ N, H0 = {0}, ist
|λn+1| = supx ∈ H⊥n‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n ), n ∈ N0;
(c) es gilt die Spektraldarstellung für A,
Ax =
∞∑
n=1
λn〈x, xn〉xn, x ∈ H.
(d) Ist λ = 0 kein Eigenwert, so ist (xn)n eine ONB in H, insbesondere ist H dann separabel.
Be w e i s : o.B.d.A. A 6= 0;
1. Schritt: zu (i); Satz 2.50 y g.z.z.: σσσ(A) = {0} ∪ {λn, n ∈ N} aus (ii), zunächst: λn ∈ σσσ(A), n ∈ N
Folgerung 2.51 y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ H, ‖x1‖H = 1 : Ax1 = λ1x1, |λ1| = ‖A‖ = sup‖x‖H=1
|〈Ax, x〉|
setzen H0 = {0} y H⊥0 = {0}⊥ = H
y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ N(A− λ1 id), ‖x1‖H = 1 : |λ1| = supx ∈ H⊥0‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥0 )
setzen H1 = span{x1} y H⊥1 = {x ∈ H : 〈x, x1〉 = 0} y A1 := A|H⊥1 ∈ L(H⊥1 ) : A1 linear,
x ∈ H⊥1 y 0 = 〈x, λ1x1〉 = 〈x,Ax1〉 =A = A∗
〈Ax, x1〉 =x ∈ H⊥1
〈A1x, x1〉 y A1x ∈ H⊥1 y A1 : H⊥1 → H⊥1
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 99
A ∈ K(H), A = A∗ y A1 ∈ K(H⊥1 ), A∗1 = A1
falls H⊥1 ) {0} y wenden Folgerung 2.51 auf A1, H⊥1 an
y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ H⊥1 , ‖x2‖H = 1 : Ax2 = A1x2 = λ2x2, |λ2| = ‖A1‖L(H⊥1 )
x1 ∈ H1, x2 ∈ H⊥1 y 〈x1, x2〉 = 0
y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ N(A− λ2 id) ∩H⊥1 , ‖x2‖H = 1, 〈x1, x2〉 = 0 : |λ2| = supx ∈ H⊥1‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥1 )
setzen H2 = span{x1, x2} ⊃ H1 y H⊥2 ⊂ H⊥1 , A2 := A1|H⊥2 = A|H⊥2 ∈ K(H⊥2 ), A2 = A
∗2
y ∃ λ3 ∈ R ∃ x3 ∈ N(A− λ3 id) ∩H⊥2 , ‖x3‖H = 1, 〈xj , x3〉 = 0, j = 1, 2 : |λ3| = supx ∈ H⊥2‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥2 )
Iteration 99K Hn = span{x1, . . . , xn} y H⊥n ⊂ H⊥n−1 ⊂ · · · ⊂ H⊥1 , An := A|H⊥n ∈ K(H⊥n ), An = A
∗n
y ∀ n ∈ N0 ∃ λn+1 ∈ R ∃ xn+1 ∈ N(A− λn+1 id) ∩H⊥n , ‖xn+1‖H = 1 :〈xj , xn+1〉 = 0, j = 1, . . . , n, |λn+1| = sup
x ∈ H⊥n‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n )
y (λn)n∈N Eigenwertfolge mit zugehörigem ONS (xn)n∈N, limn→∞
λn = 0, monoton geordnet:
|λn+1| = supx ∈ H⊥n‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| ≤H⊥n ⊂ H⊥n−1
supx ∈ H⊥n−1‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = |λn|, n ∈ N
z.z.: ∀ n ∈ N : H⊥n ) {0}Annahme: ∃ m ∈ N : H⊥m = {0} ⇐⇒ Hm = Hm = H y dimH = dimHm = m
100 2 Lineare und beschränkte Operatoren
z.z.: (xn)n∈N ONB in H
sei x ∈ H =====⇒Satz 2.34
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 101
zu (ii): sei µ 6= 0, sn =∑
k ≤ nλk 6= µ
λkλk − µ
〈y, xk〉xk
Satz 2.52 y λj −−−→j→∞
0 y ∃ cµ > 0 ∀ j ∈ N :∣∣∣∣
λjµ− λj
∣∣∣∣≤ cµ
sei n > m y ‖sn − sm‖2H =ONS
n∑
j = m + 1λj 6= µ
∣∣∣∣
λjµ− λj
∣∣∣∣
2
|〈y, xj〉|2 ≤ cµn∑
j=m+1
|〈y, xj〉|2 Satz 2.34−−−−−−→n>m→∞
0
y (sn)n Cauchyfolge in H =======⇒H vollständig
∃ u ∈ H : u = limn→∞
sn ==⇒(26)
x0 = −1
µy +
1
µu ∈ H
1. Fall: µ /∈ {λk, k ∈ N}
y (A− µ id)x0 = −1
µ(A− µ id)y + 1
µ
∑
k ∈ Nλk 6= µ
λkλk − µ
〈y, xk〉 (A− µ id)xk︸ ︷︷ ︸
(λk−µ)xk
= y − 1µAy +
1
µ
∑
k ∈ Nλk 6= µ
λk〈y, xk〉xk
︸ ︷︷ ︸
Ay, Satz 2.52, falls µ/∈{λk,k∈N}
= y − 1µAy +
1
µAy
= y, falls µ /∈ {λk, k ∈ N}
2. Fall: ∃ k ∈ N : µ = λk
y ∈ N(A− λk id)⊥ ===========⇒xk ∈ N(A − λk id)
〈y, xk〉 = 0
y Ay =Satz 2.52
∑
j 6=kλj〈y, xj〉xj + λk 〈y, xk〉
︸ ︷︷ ︸0
xk =∑
j 6=kλj〈y, xj〉xj
==⇒s.o.
(A− µ id)x0 = y −1
µAy +
1
µ
∑
j 6=kλj〈y, xj〉xj
︸ ︷︷ ︸
Ay
= y
Beispiel : Fredholm-Integraloperator
seien Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω× Ω→ K, k ∈ L2(Ω× Ω), k(x, y) = k(y, x), x, y ∈ Ω
(Kf)(x) =
∫
Ω
k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω
=====⇒Satz 2.13
K ∈ K(L2(Ω)), k(x, y) = k(y, x) ========⇒Abschnitt 2.2.3
K = K∗
y Kf − µf = g lösbar mit Folgerung 2.53, wenn Eigenwerte und -funktionen bekannt sind
Bemerkung : Voraussetzung A ∈ K(H) in Satz 2.52 wesentlich!
102 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), f 7→ Af mit (Af)(x) = xf(x) ϕ(x) = x ∈ R ========⇒
Abschnitt 2.2.3A = A∗,
‖A‖ = 1 y σσσ(A) ⊆ [−‖A‖, ‖A‖] = [−1, 1]
Beh.: ÜA II-22: σσσ(A) = [0, 1], A hat keine Eigenwerte
• A hat keine Eigenwerte: sei Af = λf ⇐⇒ xf(x) = λf(x), x ∈ [0, 1]⇐⇒ (x − λ)f(x) = 0 f.ü. in [0, 1] =============⇒
x− λ 6= 0 f.ü. in [0, 1]f ≡ 0 f.ü. in [0, 1] y f nicht
Eigenelement
• σσσ(A) ⊆ [0, 1]: sei λ /∈ [0, 1]y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(L2[0, 1]) :
((A− λ id)−1h
)(x) =
h(x)
x− λ , x ∈ [0, 1], denn
(A− λ id)−1 ((A− λ id)f) (x) = 1x− λ (x− λ)f(x)︸ ︷︷ ︸
(A−λ id)f(x)
= f(x)
y λ ∈ ̺̺̺(A) y σσσ(A) ⊆ [0, 1]
• σσσ(A) = [0, 1]: sei λ ∈ [0, 1] ==⇒s.o.
λ kein Eigenwert y N(A−λ id) = {0}, d.h. A injektivy ∃ (A− λ id)−1 : R(A− λ id) ( H→ Hz.z. (A− λ id)−1 /∈ L(H) 99K λ /∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ λ ∈ σσσ(A)g.z.z. ∃ fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, (A− λ id)fn −−−−→
n→∞0
λ ∈ [0, 1] y o.B.d.A. 0 ≤ λ < 1 y ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : 0 ≤ λ+ 1n < 1
setzen fn(x) =
{√n, x ∈ [λ, λ + 1n ]
0, sonsty fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, n ≥ n0
(A−λ id)fn(x) = (x−λ)fn(x) y ‖(A−λ id)fn|L2[0, 1]‖2 = nλ+ 1n∫
λ
(x−λ)2 dx = 13n2
, n ≥ n0
y ‖(A− λ id)fn|L2[0, 1]‖ =1√3n−−−−→n→∞
0
=====⇒Satz 2.52
A /∈ K(L2[0, 1])zusätzlich gilt: ∃ (fn)n beschränkt, nicht präkompakt (z.B. ‖fn− f2n|L2[0, 1]‖ =
√
2−√2), mit
(A− λ id)fn −−−−→n→∞
0
Zerlegung des Spektrums
bisher: λ ∈ σσσ(A) ⇐⇒ λ /∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∄(A− λ id)−1 ∨ (A− λ id)−1 6∈ L(H) y zerlegen σσσ(A)
Definition 2.54 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H).(i) Es ist σσσ∗p(A) = {λ ∈ C : ∃ x ∈ H, x 6= 0 : Ax = λx} die Menge aller Eigenwerte von A.
(ii) Es sei σσσr(A) ={λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1, (A− λ id)−1 /∈ L(H)
}.
(iii) Eine Folge (xn)n ⊂ H heißt Weyl56sche Folge zu A und λ ∈ C, falls (xn)n ⊂ H beschränkt ist, nichtpräkompakt, und zusätzlich gilt
(A− λ id)xn −−−−→n→∞
0.
56Hermann Klaus Hugo Weyl (∗ 9.11.1885 Elmshorn † 8.12.1955 Zürich)
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 103
Lemma 2.55 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H). Dann gilt
σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A), sowie σσσ∗p(A) ∩ σσσr(A) = ∅.
Be w e i s : σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A) klar; z.z.: σσσ∗p(A) ∩ σσσr(A) = ∅:
λ ∈ σσσr(A) y ∃ (A− λ id)−1 /∈ L(H) y N(A− λ id) = {0} y λ /∈ σσσ∗p(A)
λ ∈ σσσ(A) \ σσσr(A) y ∄ (A− λ id)−1 y N(A− λ id)−1 ) {0} y ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0y λ ∈ σσσ∗p(A)
Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), (Af)(x) = xf(x) y σσσ∗p(A) = ∅, σσσ(A) = σσσr(A) = [0, 1],∀ λ ∈ σσσ(A) ∃ (fn)n Weylsche Folge zu λ
ergänzen Lemma 2.47 für A ∈ L(H), A = A∗
Lemma 2.56 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.(i) Für alle x ∈ H und λ ∈ C gilt ‖(A− λ id)x‖H ≥ | ℑm λ|‖x‖H, insbesondere also
σσσ(A) ⊆ R, sowie∥∥(A− λ id)−1
∥∥ ≤ 1| ℑm λ| für λ ∈ C, ℑmλ 6= 0.
(ii) Es gilt für alle λ ∈ C,
λ ∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id) u‖H ≥ c‖u‖H.
Be w e i s : zu (i): sei x ∈ H, λ ∈ C
y ‖Ax− λx‖2H = ‖Ax‖2H − 2 ℜe λ 〈Ax, x〉︸ ︷︷ ︸
≤‖Ax‖H‖x‖H
+(| ℜe λ|2 + | ℑm λ|2)︸ ︷︷ ︸
|λ|2
‖x‖2H
≥ (‖Ax‖H −ℜeλ‖x‖H)2︸ ︷︷ ︸
≥0
+| ℑm λ|2‖x‖2H ≥ | ℑm λ|2‖x‖2H
sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 ==⇒s.o.
(A− λ id) injektiv, ∃ (A− λ id)−1,∥∥(A− λ id)−1
∥∥ ≤ 1| ℑm λ|
y (A− λ id)−1 ∈ L(H) y λ ∈ ̺̺̺(A)
zu (ii) =⇒ sei λ ∈ ̺̺̺(A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H), d.h
∃ C > 0 ∀ v ∈ H :∥∥∥(A− λ id)−1 v
∥∥∥H≤ C ‖v‖H (27)
sei u ∈ H y v = (A− λ id)u ∈ H ==⇒(27)
‖u‖H ≤ C ‖(A− λ id)u‖H , c := 1C
⇐= λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R
λ ∈ ̺̺̺(A)
sei jetzt λ ∈ R, ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id)u‖H ≥ c ‖u‖H, z.z. : λ ∈ ̺̺̺(A)
λ
c2
R
Cµ
wählen µ ∈ C \ R mit |λ− µ| ≤ c2
y
c ‖u‖H ≤ ‖Au− λu‖H ≤ ‖(A− µ id)u‖H +≤ c2
︷ ︸︸ ︷
|λ− µ| ‖u‖Hy ‖(A− µ id)u‖H ≥
c
2‖u‖H , u ∈ H
y∥∥∥(A− µ id)−1
∥∥∥ ≤ 2
c, µ ∈ ̺̺̺(A) \ R, |λ− µ| ≤ c
2(28)
104 2 Lineare und beschränkte Operatoren
sei v ∈ H gegeben, z.z. : ∃ ! u ∈ H : Au − λu = v
Unität : seien u1, u2 ∈ H, Au1 − λu1 = v = Au2 − λu2 y (A− λ id) (u1 − u2) = 0
y ‖(A− λ id) (u1 − u2)‖H︸ ︷︷ ︸
0
≥ c︸︷︷︸>0
‖u1 − u2‖H y u1 = u2
Existenz : Au− λu = v ⇐⇒ (A− µ id)u+ (µ− λ)u = v⇐===⇒µ∈̺̺̺(A)
(
id + (µ− λ) (A− µ id)−1︸ ︷︷ ︸
G
)
u = (A− µ id)−1 v
=⇒(28)
‖G‖ ≤ |µ− λ|∥∥∥(A− µ id)−1
∥∥∥ ≤ 2|µ− λ|
c≤ 1
2für µ ∈ C \ R geeignet gewählt, |µ− λ| ≤ c
4
y −1 6∈ σσσ(G) ⊂{
ν ∈ C : |ν| ≤ 12
}
⇐⇒ ( id +G)−1 ∈ L(H)
⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : ( id +G)u = (A− µ id)−1 v⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : (A− λ id)u = v
Satz 2.57 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.(i) Für λ ∈ C mit ℑmλ 6= 0 gilt H = R(A− λ id).
(ii) Für λ ∈ σσσr(A) existiert eine Weylsche Folge zu λ, es gilt R(A− λ id) = H.
Be w e i s : zu (i): sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R
N(A− λ id) = N(A− λ id) = {0}
=====⇒Satz 2.41
H = R(A− λ id); z.z.: R(A− λ id) = R(A− λ id)
sei y ∈ R(A− λ id) y ∃ (yj)j ⊂ R(A− λ id) : yj −−−→j→∞
y y ∃ (xj)j ⊂ H : (A− λ id)xj︸ ︷︷ ︸
yj
−−−→j→∞
y
y ‖xj − xk‖H ≤1
| ℑm λ|︸ ︷︷ ︸
>0
‖(A− λ id)(xj − xk)‖H︸ ︷︷ ︸
=‖yj−yk‖H−−−−−→j,k→∞
0
−−−−−→j,k→∞
0 y (xj)j Cauchyfolge in H
=======⇒H vollständig
∃ x ∈ H : xj −−−→j→∞
x =====⇒A ∈ L(H)
y = limj→∞
(A�
